9. 함수급수와 푸리에
함수들의 급수가 언제 균등수렴하는지, 그리고 푸리에급수와 깁스 현상을 다룹니다.
- M-판정법 — 함수급수가 균등수렴하는지 한 번에 판정하는 법을 봅니다.
각 항을 모든 점에서 누르는 상한이 핵심입니다. 그 상한들의 합이 수렴하면 꼬리가 전체 구간에서 동시에 작아집니다. 그래서 오차 띠가 한꺼번에 좁아집니다.
예를 들면, 물건들을 덮는 📦 상자 뚜껑과 같아요. 뚜껑 크기의 합이 유한하게 잡히면 어느 물건도 삐져나올 수 없어요.
- 디니 정리 — 단조로운 함수열은 점별수렴만으로 균등수렴이 되는지를 봅니다.
닫힌 구간에서는 가능합니다. 한 번 따라잡으면 뒤처지지 않는 단조성 덕분입니다. 각 점에서 필요한 기다림을 모아도 유한한 상한으로 묶입니다. 그래서 전체가 한꺼번에 가까워집니다.
예를 들면, 🪜 계단을 오르는 것과 비슷해요. 뒤로 물러서지 않고 한 칸씩 오르면, 마지막 칸에 닿는 순간 전원이 다 올라온 셈이에요.
- 푸리에 정사각파 — 둥근 사인파들을 겹쳐 각진 정사각파를 만드는 장면입니다.
항을 더할수록 평평한 부분은 정사각파에 붙습니다. 하지만 점프 지점 옆의 울림은 줄지 않습니다. 항의 수를 아무리 늘려도 그 혹이 남아 있습니다.
예를 들면, 📷 사진 속 🏢 건물을 확대해 보는 것과 비슷해요. 픽셀이 작아질수록 모양은 선명해져요. 그래도 경계 옆 자글자글한 자국은 끝까지 남아요.
- 리만-르벡 보조정리 — 진동이 빨라지면 푸리에 계수가 어떻게 되는지를 봅니다.
빠르게 출렁이는 파동은 함수의 울퉁불퉁함을 평균 내어 지웁니다. 한 파장 안에서는 함수가 거의 상수처럼 보이기 때문입니다. 그래서 진동수가 커질수록 계수는 0으로 사라집니다.
예를 들면, 🧵 줄을 아주 빠르게 흔드는 것과 같아요. 출렁임이 번져 흐릿한 띠로 보이고, 위아래가 서로 지워져 가운데만 남아요.
- Fejér 정리 — 울림 많은 푸리에 부분합들을 평균 내면 어떻게 되는지를 봅니다.
부분합들을 평균하면 혹들이 서로 상쇄됩니다. 평균의 핵은 양수이고 가운데에 뾰족하게 몰려 있습니다. 그래서 평균은 원래 함수에 전체 구간에서 한꺼번에 붙습니다.
예를 들면, 흔들린 📷 사진 여러 장을 겹치는 것과 같아요. 한 장 한 장의 출렁임이 겹침 속에서 서로 지워져 또렷해져요.
- 파르세발 항등식 — 함수의 에너지가 계수 쪽에서도 똑같이 잡히는지를 봅니다.
원래 함수의 제곱 합과 계수들의 제곱합은 정확히 같습니다. 아래 식이 그 내용입니다. 항을 더할수록 잡아내는 에너지 비율이 1에 가까워집니다.
예를 들면, 🐷 저금통 속 💰 동전을 단위별로 세어 다시 합치는 것과 같아요. 세는 방식을 바꿔도 전체 금액은 그대로예요.
- Gibbs 현상 — 점프 옆의 혹이 왜 사라지지 않는지를 파고드는 장면입니다.
혹 근처를 확대하면 개수가 달라도 같은 곡선으로 겹쳐집니다. 첫 봉우리의 높이는 약 1.179로 정해져 있습니다. 항을 늘리면 혹이 좁아질 뿐 낮아지지는 않습니다.
예를 들면, 📷 사진을 확대해 모서리를 들여다보는 것과 같아요. 확대할수록 자글거림은 좁아지지만 튀어나온 정도는 그대로예요.
- 함수공간: C_c, C_0, C_b — 함수공간을 보는 씬입니다. 연속함수들의 세 집합 Cc, C0, Cb가 어떻게 겹치고 갈리는지 확인합니다.
유계인 연속함수 전체가 Cb입니다. 멀리 가면 0으로 사라지는 함수가 C0, 유한 구간 밖에서는 완전히 0인 함수가 Cc입니다. Cc⊂C0⊂Cb이고, 두 포함 모두 진짜입니다.
예를 들면, ⛺ 텐트는 유한한 땅에만 서 있습니다. 안개는 멀어질수록 옅어지지만 어디에나 깔려 있습니다. 끝없이 펼쳐진 평야는 사라지지 않습니다.