파르세발 항등식

함수의 에너지가 계수 쪽에서도 똑같이 잡히는지를 봅니다.

원래 함수의 제곱 합과 계수들의 제곱합은 정확히 같습니다. 아래 식이 그 내용입니다. 항을 더할수록 잡아내는 에너지 비율이 1에 가까워집니다.

예를 들면, 🐷 저금통 속 💰 동전을 단위별로 세어 다시 합치는 것과 같아요. 세는 방식을 바꿔도 전체 금액은 그대로예요.

1π∫−ππ∣f∣2=a022+∑n=1∞(an2+bn2)\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} |f|^2 = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2)

예제

구형파 f(x)=sgn⁡(x)f(x) = \operatorname{sgn}(x) ([−π,π][-\pi, \pi])에 대해 파스발 항등식을 검증하세요: 먼저 씬에서 SNS_N이 2에 접근함을 수치로 확인한 뒤, ∑홀수 n16π2n2=2\sum_{\text{홀수 } n} \frac{16}{\pi^2 n^2} = 2를 바젤 문제 ∑n≥11n2=π26\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}으로부터 엄밀히 증명하세요.

1π∫−ππf2=2=∑odd n16π2n2,∑odd n1n2=π28\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2 = 2 = \sum_{\text{odd } n} \frac{16}{\pi^2 n^2}, \qquad \sum_{\text{odd } n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}
구형파, N=40N = 40: S40=∑홀수 n≤4016π2n2≈1.9798S_{40} = \sum_{\text{홀수 } n \le 40} \frac{16}{\pi^2 n^2} \approx 1.9798 — 목표 2의 약 99%에 도달했습니다.
증명 보기

  1. f2=1f^2 = 1이므로 L2L^2 노름은 1π∫−ππf2 dx=2ππ=2\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx = \frac{2\pi}{\pi} = 2입니다. ff가 기함수이므로 an=0a_n = 0이고, bn=1π∫−ππf(x)sin⁡(nx) dx=2π∫0πsin⁡(nx) dx=2(1−(−1)n)nπb_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n\pi} — 홀수 nn에서 4nπ\frac{4}{n\pi}, 짝수 nn에서 0입니다.

  2. 따라서 파스발의 우변은 a022+∑n≥1bn2=∑홀수 n16π2n2=16π2∑홀수 n1n2\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n\ge 1} b_n^2 = \sum_{\text{홀수 } n} \frac{16}{\pi^2 n^2} = \frac{16}{\pi^2}\sum_{\text{홀수 } n} \frac{1}{n^2}입니다. 바젤 문제에서 ∑n≥11n2=π26\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}이고, 짝수 항만 모으면 ∑k≥11(2k)2=14⋅π26=π224\sum_{k\ge 1} \frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}이므로, 홀수 항의 합은 π26−π224=π28\frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{8}입니다.

  3. 대입하면 16π2⋅π28=2\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 2 — 좌변의 L2L^2 노름 2와 정확히 일치합니다.

    파스발 항등식이 이 예에서 성립함이 증명되었습니다.

    씬의 막대가 N=40N = 40에서 2에 바짝 붙는 것은 이 무한합의 부분합을 보는 것입니다.

[−π,π][-\pi, \pi]에서 Riemann integrable한 ff에 대해, 삼각 함수계의 직교성을 이용해 ∥f−SN∥22≥0\|f - S_N\|_2^2 \ge 0을 전개함으로써 베셀 부등식 a022+∑n=1N(an2+bn2)≤1π∫−ππf2\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2를 완전히 증명하세요 (파스발의 유한 핵심).

0≤∥f−SN∥22=∥f∥22−(a022+∑n=1N(an2+bn2))0 \le \|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\right)
톱니파, N=20N = 20: S20=∑n≤204n2≈6.38S_{20} = \sum_{n\le 20} \frac{4}{n^2} \approx 6.38이 L2L^2 노름 2π23≈6.5797\frac{2\pi^2}{3} \approx 6.5797 아래에 있습니다 — 베셀 부등식 그 자체입니다.
증명 보기

  1. 가설을 명시합니다: ff는 [−π,π][-\pi, \pi]에서 Riemann integrable하다고 가정합니다.

    그러면 f2f^2도 integrable하고, 푸리에 계수 an,bna_n, b_n과 ∫−ππf2\int_{-\pi}^{\pi} f^2가 모두 잘 정의됩니다.

    내적을 ⟨g,h⟩=1π∫−ππg(x)h(x) dx\langle g, h\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx로 두면 삼각 함수계 {1/2,cos⁡(nx),sin⁡(nx)}\{1/\sqrt{2}, \cos(nx), \sin(nx)\}는 정규직교계입니다.

    푸리에 부분합을 SN=a02+∑n=1N(ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx))S_N = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))라 쓰면, ∥f−SN∥22=⟨f−SN,f−SN⟩=∥f∥22−2⟨f,SN⟩+∥SN∥22\|f - S_N\|_2^2 = \langle f - S_N, f - S_N\rangle = \|f\|_2^2 - 2\langle f, S_N\rangle + \|S_N\|_2^2입니다 — 항상 0 이상입니다.

  2. 계수의 정의가 곧 ⟨f,cos⁡(nx)⟩=an\langle f, \cos(nx)\rangle = a_n, ⟨f,sin⁡(nx)⟩=bn\langle f, \sin(nx)\rangle = b_n, ⟨f,1⟩=a0\langle f, 1\rangle = a_0이므로, ⟨f,SN⟩=a022+∑n=1N(an2+bn2)\langle f, S_N\rangle = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)입니다. 직교성에 의해 ∥SN∥22=a022+∑n=1N(an2+bn2)\|S_N\|_2^2 = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)도 같습니다 (교차항이 전부 0).

  3. 대입하면 0≤∥f−SN∥22=∥f∥22−2EN+EN=∥f∥22−EN0 \le \|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - 2E_N + E_N = \|f\|_2^2 - E_N (여기서 EN=a022+∑n=1N(an2+bn2)E_N = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)) — 즉 EN≤∥f∥22E_N \le \|f\|_2^2입니다.

    이것이 베셀 부등식이며, 씬에서 막대가 점선을 절대 넘지 않는 이유입니다.

    N→∞N \to \infty 극한이 파스발 항등식이 됩니다 (아래 문제 3).

파스발 항등식 a022+∑n≥1(an2+bn2)=∥f∥22\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n\ge 1}(a_n^2 + b_n^2) = \|f\|_2^2가 성립하면 푸리에 부분합 SNS_N이 L2L^2에서 ff로 수렴함을 증명하세요.

삼각다항식이 조밀하다는 완비성은 다리로만 언급하세요 (이 단계는 아이디어 수준).

∥f−SN∥22=∥f∥22−(a022+∑n=1N(an2+bn2))  →N→∞  0\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\right) \;\xrightarrow[N \to \infty]{}\; 0
포물선, N=12N = 12: 에너지가 1/n41/n^4으로 들어가 S12S_{12}가 이미 L2L^2 노름 2π45≈38.96\frac{2\pi^4}{5} \approx 38.96의 99.99% 이상을 포착합니다 — L2L^2 수렴이 눈앞에서 일어납니다.
증명 보기

  1. 문제 2의 전개는 부등식이 아니라 항등식입니다: 00이 아닌 ∥f−SN∥22\|f - S_N\|_2^2를 그대로 두면 ∥f−SN∥22=∥f∥22−EN\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - E_N (여기서 EN=a022+∑n=1N(an2+bn2)E_N = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2))을 얻습니다 — 직교성 덕분에 교차항이 사라지고 이 식이 정확히 성립합니다.

  2. 파스발 항등식은 EN→∥f∥22E_N \to \|f\|_2^2 (N→∞N \to \infty)라고 말합니다.

    따라서 ∥f−SN∥22=∥f∥22−EN→0\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - E_N \to 0 — 즉 SN→fS_N \to f in L2L^2입니다.

    부등식에서 등식으로 넘어가는 이 한 걸음이 전부입니다: 함의 자체는 완전히 증명되었습니다.

  3. 다리 (아이디어 수준): 파스발 항등식 자체가 성립하려면 삼각 함수계가 "완비"해야 합니다 — 유한 삼각다항식으로 ff를 L2L^2에서 원하는 만큼 가깝게 근사할 수 있다는 뜻입니다.

    주의: 모든 trigonometric polynomial은 T(−π)=T(π)T(-\pi) = T(\pi)를 만족하므로, 연속함수 ff의 uniform approximation에는 가설 f(−π)=f(π)f(-\pi) = f(\pi)가 필요합니다 (이 경우 Stone-Weierstrass theorem for trigonometric polynomials를 적용합니다).

    일반적인 ff에 대해서는 endpoint가 L2L^2에서 measure zero이므로 이 조건이 L2L^2 근사를 막지 않습니다: 먼저 ff를 L2L^2에서 연속함수로 근사하고, endpoint 값을 맞춰 조정한 뒤 위 근사를 적용합니다.

    그 증명은 여기서 생략합니다.

    일단 다리가 놓이면 위의 함의가 L2L^2 수렴을 완성합니다.

9. 함수급수와 푸리에