Gibbs 현상

유한합이므로 항별 미분이 정당합니다: $S_N'(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\cos((2k-1)x)$. 코사인 합을 복소지수로 봅니다: $\sum_{k=1}^{N}\cos((2k-1)x) = \Re\sum_{k=1}^{N}e^{i(2k-1)x}$.

등비급수입니다: $\sum_{k=1}^{N}e^{i(2k-1)x} = e^{ix}\frac{1 - e^{i2Nx}}{1 - e^{i2x}}$.

분자와 분모를 인수분해하면 $1 - e^{i2Nx} = -2i\,e^{iNx}\sin(Nx)$, $1 - e^{i2x} = -2i\,e^{ix}\sin x$이므로, 비는 $\frac{e^{iNx}\sin(Nx)}{e^{ix}\sin x} = e^{i(N-1)x}\frac{\sin(Nx)}{\sin x}$가 됩니다.

앞에 $e^{ix}$를 곱하면 $e^{iNx}\frac{\sin(Nx)}{\sin x}$이고, 실수부는 $\frac{\cos(Nx)\sin(Nx)}{\sin x} = \frac{\sin(2Nx)}{2\sin x}$입니다.

따라서 $S_N'(x) = \frac{4}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{2\sin x} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{\sin x}$입니다 — 홀수 주파수에 대한 Dirichlet 핵의 닫힌 형태입니다.

$(0, \pi)$에서 $\sin x \ne 0$이므로, 임계점은 $\sin(2Nx) = 0$에서: $2Nx = m\pi$, 즉 $x_m = \frac{m\pi}{2N}$ ($m = 1, \dots, 2N-1$). 구간 $(0, \frac{\pi}{2N})$에서는 $\sin(2Nx) > 0$이고 $\sin x > 0$이므로 $S_N'(x) > 0$이며, $S_N(0) = 0$에서 출발해 단조증가하다가 $x_1 = \frac{\pi}{2N}$에서 첫 번째 극대(피크)를 찍습니다.

$S_N(0) = 0$이므로 $S_N(x) = \int_0^x S_N'(u)\,du$입니다.

앞 문제의 항등식을 대입하면 $S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^x \frac{\sin(2Nu)}{\sin u}\,du$.

치환 $t = 2Nu$ ($dt = 2N\,du$)로 $S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^{2Nx}\frac{\sin t}{2N\sin(t/2N)}\,dt$를 얻습니다 — 여기까지는 순수한 대수입니다.

극한을 취하기 전에 먼저 피크를 대입합니다: $x_N = x_1 = \frac{\pi}{2N}$로 두면 $2Nx_N = \pi$가 고정되므로 $S_N(x_N) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{2N\sin(t/2N)}\,dt$ — 적분 구간이 $N$에 의존하지 않는 고정 구간 $(0, \pi]$가 됩니다. 고정된 $t$마다 $2N\sin(t/2N) \to t$이므로 ($\sin v \sim v$) 피적분함수는 점별로 $\frac{\sin t}{t}$로 수렴합니다.

★ 여기서 딱 한 번 analysis를 씁니다 — 고정 구간 $(0, \pi]$에서 지배수렴정리를 적용합니다: $t \in (0, \pi]$에 대해 $v = \frac{t}{2N} \in [0, \frac{\pi}{2}]$이고 $\sin v \ge \frac{2v}{\pi}$에서 $2N\sin(t/2N) \ge \frac{2t}{\pi}$, 즉 $\frac{t}{2N\sin(t/2N)} \le \frac{\pi}{2}$를 얻습니다.

따라서 $\left\lvert\frac{\sin t}{2N\sin(t/2N)}\right\rvert = \frac{t}{2N\sin(t/2N)}\cdot\left\lvert\frac{\sin t}{t}\right\rvert \le \frac{\pi}{2}\left\lvert\frac{\sin t}{t}\right\rvert \le \frac{\pi}{2}$이며, 지배함수 $\frac{\pi}{2}\left\lvert\frac{\sin t}{t}\right\rvert$ (단, $\left\lvert\frac{\sin t}{t}\right\rvert \le 1$)는 유한 구간 $(0, \pi]$에서 적분 가능합니다. 지배수렴정리로 $S_N(x_N) \to \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898$입니다.

수치 교차검증: 푸리에 씬이 관측한 $\mathrm{GIBBS\_PEAK} = 1.178979744472167$과 $10^{-9}$ 이내로 일치합니다.

$\mathrm{Si}'(t) = \frac{\sin t}{t} > 0$이므로 $\mathrm{Si}$는 $(0, \pi)$에서 엄격히 증가합니다.

$t > \pi$에서는 꼬리 $\int_{\pi}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du$를 $L_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin u}{u}\,du$ ($k \ge 1$) 로브들의 합으로 봅니다: 부호가 교대하고, $\lvert L_{k+1}\rvert = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\lvert\sin v\rvert}{v+\pi}\,dv < \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\lvert\sin v\rvert}{v}\,dv = \lvert L_k\rvert$이므로 크기가 감소하며, 첫 로브 $L_1 < 0$입니다. 교대급수의 부분합은 전부 음수이므로 (짝수 개는 음수 쌍들의 합, 홀수 개는 거기에 음수 로브 하나 추가), $\mathrm{Si}(t) < \mathrm{Si}(\pi)$ ($t > \pi$).

따라서 $\mathrm{Si}$의 전역 최댓값은 $t = \pi$에서, 값은 $\approx 1.85194$입니다.

피크 높이의 한계는 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898$이고 정사각파의 값은 $1$이므로, 울림은 $1.17898 - 1 = 0.17898$입니다. 점프가 $-1$에서 $1$로 크기 $2$이니, 울림의 비율은 $\frac{0.17898}{2} = 0.08948987 \approx 8.949\%$입니다.

사라지지 않는 이유: 재조정된 좌표 $t = 2Nx$에서는 곡선 전체가 $N$과 무관한 한계함수 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(t)$로 수렴합니다 (앞 문제). 첫 번째 혹(bump)은 $t$ 좌표에서 고정된 모양·높이를 가집니다.

원래 $x$ 좌표로 돌아오면 $t$ 구간의 폭이 $1/(2N)$으로 압축됩니다: 혹의 너비는 $\sim \pi/N \to 0$으로 좁아지지만, 높이는 상수 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - 1 \approx 0.179$로 수렴합니다. 한 문장으로: 혹(bump)은 $1/N$처럼 좁아지지만 절대 낮아지지 않는다.

이것이 푸리에 씬의 수치 관찰이 정확히 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi)$이어야 했던 이유입니다 — 수치로 먼저 본 상수를 해석학이 뒤늦게 증명한 셈입니다.