유리수의 조밀성

아무리 좁은 구간에도 유리수가 숨어 있음을 봅니다. 분모를 키울수록 눈금이 촘촘해집니다.

두 수 사이에는 언제나 분수가 하나 들어갑니다. 구간이 좁으면 분모가 큰 분수가 필요합니다. 눈금을 충분히 잘게 나누면 어떤 틈에도 한 칸은 들어갑니다. 무리수 사이에서도 마찬가지입니다.

예를 들면, 🍰 케이크를 반으로 또 반으로 자르는 것과 같습니다. 조각은 끝없이 작아집니다. 아무리 얇은 틈을 골라도 그보다 얇은 조각을 만들 수 있습니다. 그 조각이 틈 안에 들어가는 분수입니다.

n=⌊1y−x⌋+1,m=⌊nx⌋+1n = \left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor + 1,\quad m = \lfloor nx \rfloor + 1
x<mn<yx < \frac{m}{n} < y
z=r+(s−r)22 is irrationalz = r + (s-r)\frac{\sqrt{2}}{2}\ \text{is irrational}

예제

실수 xx에 대해 n≤x<n+1n \le x < n+1을 만족하는 정수 nn이 존재함을 아르키메데스 성질로 완전히 증명하세요 (Tao, 명제 4.4.1).

∀ x∈R ∃ n∈Z: n≤x<n+1\forall\, x \in \mathbb{R}\ \exists\, n \in \mathbb{Z}:\ n \le x < n+1
구간 (1,2)(1, 2): n=⌊1/(2−1)⌋+1=2n = \lfloor 1/(2-1) \rfloor + 1 = 2, m=⌊2⋅1⌋+1=3m = \lfloor 2 \cdot 1 \rfloor + 1 = 3이므로 q=3/2=1.5q = 3/2 = 1.5가 구간 안에 들어갑니다. 아래 증명은 이 구성이 항상 통함을 보입니다.
증명 보기

  1. S={k∈Z:k≤x}S = \{k \in \mathbb{Z} : k \le x\}라 둡니다. 아르키메데스 성질에 의해 −x-x보다 큰 자연수 KK가 존재하고, −K<x-K < x이므로 −K∈S-K \in S — SS는 비어 있지 않으며 xx를 상계로 갖습니다.

  2. 위로 유계인 정수의 비어 있지 않은 집합은 최댓값을 가집니다: xx보다 큰 정수 MM을 잡으면(아르키메데스), S′′={M−s:s∈S}S'' = \{M - s : s \in S\}는 00 이상의 정수들로 이루어진 비어 있지 않은 집합이므로 정렬성 원리에 의해 최소 원소 M−nM - n (n∈Sn \in S)을 갖습니다. 모든 s∈Ss \in S에 대해 M−s≥M−nM - s \ge M - n, 즉 s≤ns \le n이므로 n=max⁡Sn = \max S입니다.

  3. n∈Sn \in S이므로 n≤xn \le x입니다.

    또한 n+1>xn + 1 > x입니다: 그렇지 않으면 n+1≤xn + 1 \le x라서 n+1∈Sn + 1 \in S가 되어 nn의 최대성에 모순이기 때문입니다.

    따라서 n≤x<n+1n \le x < n+1 — 모든 실수는 정수 눈금 두 칸 사이에 정확히 들어갑니다.

x<yx < y인 실수에 대해 x<q<yx < q < y인 유리수 qq가 존재함을 완전히 증명하세요 — 유리수는 실수에서 조밀합니다 (Tao, 명제 4.4.3).

x<y⇒∃ q∈Q: x<q<yx < y \Rightarrow \exists\, q \in \mathbb{Q}:\ x < q < y
n=⌊1y−x⌋+1,m=⌊nx⌋+1,q=mnn = \left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor + 1,\quad m = \lfloor nx \rfloor + 1,\quad q = \frac{m}{n}
구간 (1,2)(1, 2): 1/n<y−x1/n < y - x를 만족하는 n=2n = 2를 잡으면 간격 1/21/2짜리 눈금 …,1,3/2,2,…\dots, 1, 3/2, 2, \dots 중 3/23/2가 구간 안에 떨어집니다 — 증명의 구성이 눈앞에서 실행된 것입니다.
증명 보기

  1. y−x>0y - x > 0이므로 아르키메데스 성질에 의해 1y−x\frac{1}{y-x}보다 큰 자연수 nn이 존재합니다 — 즉 1n<y−x\frac{1}{n} < y - x입니다. 모델은 n=⌊1y−x⌋+1n = \left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor + 1로 이 nn을 직접 계산합니다.

  2. 위 문제 1을 nxnx에 적용하면 m−1≤nx<mm - 1 \le nx < m인 정수 mm이 존재합니다 (모델은 m=⌊nx⌋+1m = \lfloor nx \rfloor + 1로 계산합니다). q=m/nq = m/n이라 두면, m>nxm > nx에서 mn>nxn=x\frac{m}{n} > \frac{nx}{n} = x입니다.

  3. 또한 m<nx+1m < nx + 1이고, 1n<y−x\frac{1}{n} < y - x는 1<n(y−x)1 < n(y - x)와 동치이므로 nx+1<nx+n(y−x)=nynx + 1 < nx + n(y - x) = ny입니다.

    따라서 m<nym < ny, 즉 mn<y\frac{m}{n} < y입니다.

    두 부등식을 합치면 x<mn<yx < \frac{m}{n} < y — 원하는 유리수 q=m/nq = m/n을 찾았습니다.

  4. 핵심 아이디어는 이것입니다: 구간 길이보다 잘게 눈금을 나누면(1/n<y−x1/n < y - x), 눈금 하나가 구간을 건너뛰어 넘어갈 수 없습니다. 구간이 아무리 좁아도((0,0.1)(0, 0.1), (−3.5,−3.4)(-3.5, -3.4) 프리셋을 보세요) 눈금을 더 잘게 나누면 되므로, 예외는 없습니다.

무리수도 실수에서 조밀함을 증명하세요: x<yx < y이면 x<z<yx < z < y인 무리수 zz가 존재합니다 (힌트: 유리수 r<sr < s를 (x,y)(x, y) 안에서 잡고, z=r+(s−r)22z = r + (s-r)\frac{\sqrt{2}}{2}를 이용하세요).

z=r+(s−r)22∈(x,y),z∉Qz = r + (s-r)\frac{\sqrt{2}}{2} \in (x, y),\qquad z \notin \mathbb{Q}
구간 (1,2)(1, 2): 유리수 r=3/2r = 3/2, s=7/4s = 7/4를 잡으면 z=32+14⋅22≈1.677z = \frac{3}{2} + \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.677은 (1,2)(1, 2) 안의 무리수입니다 — 유리수 눈금 사이에 무리수가 반드시 끼어듭니다.
증명 보기

  1. 위 문제 2는 유리수 하나만 주므로 두 번 적용합니다: 중간점 m=(x+y)/2m = (x + y)/2에 대해 문제 2를 (x,m)(x, m)에 적용해 유리수 rr (x<r<mx < r < m)을 얻고, (m,y)(m, y)에 적용해 유리수 ss (m<s<ym < s < y)를 얻으면 r<m<sr < m < s라서 (x,y)(x, y) 안에 유리수 r<sr < s가 존재합니다.

    z=r+(s−r)22z = r + (s - r)\frac{\sqrt{2}}{2}라 둡니다.

    1<2<41 < 2 < 4이고 제곱은 [0,∞)[0, \infty)에서 엄격히 증가하므로(위 sqrt2-irrational 장면의 문제 1과 n제곱근 장면), 1<2<21 < \sqrt{2} < 2 — 따라서 0<22<10 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1입니다.

  2. s−r>0s - r > 0이므로 0<(s−r)22<s−r0 < (s-r)\frac{\sqrt{2}}{2} < s - r이고, 양변에 rr을 더하면 r<z<sr < z < s입니다. x<rx < r이고 s<ys < y이므로 x<z<yx < z < y — zz는 구간 안에 들어갑니다.

  3. zz가 무리수임을 보입니다.

    만약 zz가 유리수라면 2=2(z−r)s−r\sqrt{2} = \frac{2(z - r)}{s - r}인데, 우변은 분모가 00이 아닌 유리수들의 사칙연산이므로 유리수 — 2\sqrt{2}가 무리수라는 명제 4.4.4(sqrt2-irrational 장면 문제 1)에 모순입니다.

    따라서 zz는 무리수이며, x<z<yx < z < y를 만족합니다.

  4. 따름정리: 실수 직선의 모든 열린 구간은 유리수도 무리수도 모두 포함합니다. 유리수가 조밀하다고 해서 "거의 모든" 실수가 유리수라는 뜻은 아닙니다 — 오히려 그 반대가 참입니다 (가산성 장면).

2. 수의 체계