√2는 무리수

분수를 촘촘히 찍어도 끝내 메워지지 않는 구멍을 봅니다. 그 자리가 바로 루트 2입니다.

유리수만으로는 수직선이 완성되지 않습니다. 어떤 분수도 제곱하면 정확히 2가 되지 않습니다. 분모를 아무리 키워도 그 자리는 빕니다. 그래서 유리수 너머의 수가 필요합니다.

예를 들면, 📏 자로 길이를 재는 것과 같습니다. 눈금을 아무리 잘게 나눠도 딱 맞지 않는 길이가 있습니다. 정사각형의 대각선이 그런 길이입니다. 분수 눈금으로는 영원히 잡지 못합니다.

(pq)2≠2∀ pq∈Q\left(\frac{p}{q}\right)^2 \ne 2 \quad \forall\, \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}
∣1712−2∣≈0.00245>0\left|\frac{17}{12} - \sqrt{2}\right| \approx 0.00245 > 0

예제

어떤 유리수 p/qp/q도 제곱해서 22가 될 수 없음을 완전히 증명하세요 — 즉 방정식 x2=2x^2 = 2는 유리수 해를 갖지 않습니다 (Tao, 명제 4.4.4).

(pq)2=2 has no solution pq∈Q\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2 \text{ has no solution } \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}
N=5N = 5: 분모가 55 이하인 유리수 중 2\sqrt{2}에 가장 가까운 것은 7/5≈1.47/5 \approx 1.4이며 거리는 약 0.01420.0142입니다 — 그러나 아래 증명은 이 거리가 00이 될 수는 절대 없음을 보입니다.
증명 보기

  1. 먼저 부호를 줄입니다: 유리수 rr가 r2=2r^2 = 2를 만족하면 ∣r∣|r|도 유리수이고 ∣r∣2=r2=2|r|^2 = r^2 = 2이며, r≠0r \ne 0이므로 ∣r∣|r|는 양의 유리수 해입니다. 따라서 양의 해를 배제하면 충분합니다.

    (pq)2=2\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2인 양의 유리수 p/qp/q가 존재한다고 가정합니다. 아래 문제 2에 의해 p/qp/q는 기약분수, 즉 gcd⁡(p,q)=1\gcd(p, q) = 1로 둘 수 있습니다.

  2. 분모를 없애면 p2=2q2p^2 = 2q^2이므로 p2p^2은 짝수입니다. pp가 홀수이면 p2p^2도 홀수이므로(홀수 × 홀수 = 홀수), pp는 짝수여야 합니다: p=2kp = 2k인 양의 정수 kk가 존재합니다.

  3. 대입하면 4k2=2q24k^2 = 2q^2, 즉 q2=2k2q^2 = 2k^2이므로 q2q^2도 짝수 — 같은 논증으로 qq도 짝수입니다. 그런데 pp와 qq가 모두 짝수이면 gcd⁡(p,q)≥2\gcd(p, q) \ge 2로, 기약분수라는 가정에 모순입니다.

  4. 따라서 (pq)2=2\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2인 유리수는 존재하지 않습니다. 75,1712\frac{7}{5}, \frac{17}{12}처럼 제곱이 22에 아무리 가까워져도 (문제 3) 정확히 22에 닿는 분수는 없습니다 — 유리수 직선에는 2\sqrt{2} 자리에 구멍이 뚫려 있습니다.

모든 양의 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있음을 정렬성 원리(well-ordering)로 완전히 증명하세요.

∀ r>0 rational, ∃ p,q∈N: r=pq, gcd⁡(p,q)=1\forall\, r > 0\ \text{rational},\ \exists\, p, q \in \mathbb{N}:\ r = \frac{p}{q},\ \gcd(p, q) = 1
N=5N = 5: 점들은 모두 기약분수로 찍혀 있습니다 (예: 6/46/4가 아니라 3/23/2) — 같은 값을 나타내는 분수들 중 분모가 가장 작은 대표를 택한 것입니다.
증명 보기

  1. 양의 유리수 rr를 고정합니다. S={n∈N:어떤 m∈N에 대해 r=m/n}S = \{n \in \mathbb{N} : \text{어떤 } m \in \mathbb{N}\text{에 대해 } r = m/n\}이라 두면, r=a/br = a/b (a,ba, b 양의 정수)라 쓸 수 있으므로 b∈Sb \in S — SS는 자연수의 비어 있지 않은 부분집합입니다.

    (여기서 N={1,2,3,… }\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}입니다.)

  2. 정렬성 원리에 의해 SS는 최소 원소 q0q_0를 갖습니다. r=p0/q0r = p_0/q_0인 p0∈Np_0 \in \mathbb{N}를 택합니다.

    이제 gcd⁡(p0,q0)=1\gcd(p_0, q_0) = 1임을 보입니다.

  3. 만약 d=gcd⁡(p0,q0)>1d = \gcd(p_0, q_0) > 1이면 r=p0/dq0/dr = \frac{p_0/d}{q_0/d}이고 q0/d<q0q_0/d < q_0이므로 q0/d∈Sq_0/d \in S — q0q_0의 최소성에 모순입니다. 따라서 d=1d = 1이어야 하고, r=p0/q0r = p_0/q_0은 기약분수입니다.

  4. 위 증명은 위 문제 1에서 "기약분수로 둘 수 있다"고 한 근거입니다: 제곱해서 22가 되는 유리수가 있다면, 분모가 가장 작은 것부터 살펴봐도 되는데, 바로 그 최소 분모의 분수가 짝수/짝수 모순에 걸립니다.

(75)2=4925<2<289144=(1712)2\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25} < 2 < \frac{289}{144} = \left(\frac{17}{12}\right)^2임을 직접 계산으로 확인하고, 두 분수의 차가 160<0.06\frac{1}{60} < 0.06임을 보여 유리수가 22 (의 제곱근 자리)에 원하는 만큼 가까워질 수 있음을 수치로 입증하세요.

(75)2=4925<2<289144=(1712)2\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25} < 2 < \frac{289}{144} = \left(\frac{17}{12}\right)^2
1712−75=160≈0.0167<0.06\frac{17}{12} - \frac{7}{5} = \frac{1}{60} \approx 0.0167 < 0.06
N=12N = 12: 2\sqrt{2}에 가장 가까운 유리수는 17/12≈1.4166717/12 \approx 1.41667 (거리 약 0.002450.00245)이고, 7/5≈1.47/5 \approx 1.4도 점으로 찍혀 있습니다 — 두 분수가 22를 양쪽에서 조여오는 모습입니다.
증명 보기

  1. 직접 계산합니다: (75)2=4925=1.96<2\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25} = 1.96 < 2이고, (1712)2=289144=2.0069…>2\left(\frac{17}{12}\right)^2 = \frac{289}{144} = 2.0069\ldots > 2입니다 (정수 비교로 정확히 검증됩니다: 49<50=2×2549 < 50 = 2 \times 25이므로 4925<2\frac{49}{25} < 2, 289>288=2×144289 > 288 = 2 \times 144이므로 289144>2\frac{289}{144} > 2).

  2. 두 분수의 차이는 1712−75=85−8460=160≈0.0167<0.06\frac{17}{12} - \frac{7}{5} = \frac{85 - 84}{60} = \frac{1}{60} \approx 0.0167 < 0.06입니다. 제곱값의 차이도 289144−4925=7225−70563600=1693600<0.05\frac{289}{144} - \frac{49}{25} = \frac{7225 - 7056}{3600} = \frac{169}{3600} < 0.05로 작습니다 — 22를 사이에 둔 폭 0.050.05 미만의 구간 안에 두 유리수의 제곱이 모두 들어갑니다.

  3. 일반 단계 (위의 수치 예시는 설명일 뿐입니다): 2\sqrt{2}의 연분수 수렴분수 pk/qkp_k/q_k (1/1,3/2,7/5,17/12,…1/1, 3/2, 7/5, 17/12, \dots, qkq_k는 증가하며 무한히 커짐)는 행렬식 항등식 ∣pkqk−1−pk−1qk∣=1|p_k q_{k-1} - p_{k-1} q_k| = 1을 만족하므로 ∣pkqk−pk−1qk−1∣=1qkqk−1\left|\frac{p_k}{q_k} - \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}\right| = \frac{1}{q_k q_{k-1}}이고, 연속한 수렴분수 사이에 2\sqrt{2}가 끼어 있어 ∣2−pkqk∣≤1qkqk+1≤1qk2\left|\sqrt{2} - \frac{p_k}{q_k}\right| \le \frac{1}{q_k q_{k+1}} \le \frac{1}{q_k^2}입니다. 따라서 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해 1qk2<ε\frac{1}{q_k^2} < \varepsilon인 kk를 택하면 ∣2−pkqk∣<ε\left|\sqrt{2} - \frac{p_k}{q_k}\right| < \varepsilon입니다 — 유리수는 2\sqrt{2}에 원하는 만큼 (∀ε>0 \forall \varepsilon > 0) 가까워집니다.

  4. 문제 1에 의해 이 구간 안에 제곱이 정확히 22인 유리수는 없습니다. 그럼에도 75,1712\frac{7}{5}, \frac{17}{12}처럼 22를 양쪽에서 조이는 유리수는 얼마든지 찾을 수 있고(모델에서 NN을 키울수록 최단 거리가 0.0142→0.00245→⋯0.0142 \to 0.00245 \to \cdots로 줄어듭니다), 위의 일반 추정과 함께 이는 유리수가 2\sqrt{2} 자리에 원하는 만큼 가까워질 수 있음 — 그러나 결코 닿지 않음 — 을 보여줍니다.

    이 구멍을 메우는 수가 바로 상한 공리로 존재가 보장되는 2\sqrt{2}입니다 (n제곱근 장면).

2. 수의 체계