유리수의 구멍

유리수만으로 만든 수열이 유리수가 아닌 곳으로 다가갑니다. 유리수 세계에 구멍이 있다는 것을 보여 주는 장면입니다.

반복 식은 추측값의 오차를 매번 반으로 접어 고칩니다. 항은 전부 유리수입니다. 그런데 다가가는 목적지는 유리수가 아닙니다. 그래서 유리수만으로는 그 자리를 채울 수 없습니다. 무리수라는 엄밀한 증명은 건너뛰고 아이디어만 봅니다.

예를 들면, 📏 자로 정사각형의 대각선 길이를 재어 봅니다. 1.4, 1.41, 1.414처럼 자릿수를 늘려도 분수로는 딱 맞지 않습니다. 그 자리가 바로 유리수의 구멍입니다.

xn+1=xn+2/xn2→2x_{n+1}=\frac{x_n+2/x_n}{2}\to\sqrt{2}
2∉Q\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

x0=1x_0 = 1, xn+1=xn+2/xn2x_{n+1} = \frac{x_n + 2/x_n}{2}이라 할 때 x5x_5를 정확한 분수로 구하고, ∣x5−2∣<10−24|x_5 - \sqrt{2}| < 10^{-24}임을 증명하세요.

x5=886731088897627013566048x_5 = \frac{886731088897}{627013566048}
∣x5−2∣<10−24|x_5 - \sqrt{2}| < 10^{-24}
n=5n = 5 — 다섯 번 반복하면 소수점 아래 24자리가 맞습니다.
증명 보기

  1. 분수 형태로 차례로 계산하면 x1=32x_1 = \frac{3}{2}, x2=1712x_2 = \frac{17}{12}, x3=577408x_3 = \frac{577}{408}, x4=665857470832x_4 = \frac{665857}{470832}, x5=886731088897627013566048x_5 = \frac{886731088897}{627013566048}입니다. 점화식 pq↦p2+2q22pq\frac{p}{q} \mapsto \frac{p^2+2q^2}{2pq}를 그대로 적용한 결과입니다.

  2. 또한 pn+12−2qn+12=(pn2+2qn2)2−8pn2qn2=(pn2−2qn2)2p_{n+1}^2 - 2q_{n+1}^2 = (p_n^2+2q_n^2)^2 - 8p_n^2q_n^2 = (p_n^2-2q_n^2)^2이고 p12−2q12=9−8=1p_1^2-2q_1^2 = 9-8 = 1이므로, 모든 n≥1n \geq 1에 대해 pn2−2qn2=1p_n^2-2q_n^2 = 1입니다. 따라서 gcd⁡(pn,qn)=1\gcd(p_n,q_n)=1 — 모두 기약분수입니다.

  3. en=xn2−2e_n = x_n^2 - 2라 두면 직접 전개로 en+1=en24xn2e_{n+1} = \frac{e_n^2}{4x_n^2}을 얻습니다. x1=32>2x_1 = \frac32 > \sqrt2이고 xn+1−2=(xn−2)22xn≥0x_{n+1}-\sqrt2 = \frac{(x_n-\sqrt2)^2}{2x_n} \geq 0이므로 모든 n≥1n \geq 1에 대해 xn≥2x_n \geq \sqrt2이고, 따라서 en+1≤en28e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{8}입니다.

  4. e1=14e_1 = \frac14, e2=1144e_2 = \frac{1}{144}, e3=1166464e_3 = \frac{1}{166464}, e4=1221682772224<4.6×10−12e_4 = \frac{1}{221682772224} < 4.6\times 10^{-12}입니다. 따라서 e5≤e428<2.7×10−24e_5 \leq \frac{e_4^2}{8} < 2.7\times 10^{-24}이고, ∣x5−2∣=e5x5+2<2.7×10−242.8<10−24|x_5-\sqrt2| = \frac{e_5}{x_5+\sqrt2} < \frac{2.7\times 10^{-24}}{2.8} < 10^{-24}입니다.

수열 bn=(1+1n)nb_n = \left(1+\frac1n\right)^n의 모든 항이 유리수임을 보이고, 그 극한인 무리수 ee가 Q\mathbb{Q}의 또 다른 '구멍'임을 설명하세요.

bn=(n+1n)n∈Q,lim⁡n→∞bn=e∉Qb_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \in \mathbb{Q}, \qquad \lim_{n\to\infty} b_n = e \notin \mathbb{Q}
바빌로니아법 n=5n=5 — 유리수 항이 무리수 극한으로 모이는 같은 현상입니다.
증명 보기

  1. bn=(n+1n)nb_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n이고 n+1n\frac{n+1}{n}은 유리수입니다. 유리수의 자연수 거듭제곱은 유리수이므로 모든 nn에 대해 bn∈Qb_n \in \mathbb{Q}입니다.

  2. 수열 (bn)(b_n)은 증가하고 위로 유계이므로(표준적인 사실로 받아들입니다) 수렴합니다. 그 극한을 ee라 부릅니다.

  3. 먼저 두 ee가 같은 수임을 확인합니다.

    S=∑k=0∞1k!S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}라 두고, eseries 씬(compound 문제)에서처럼 이항정리로 전개하면 bn=∑k=0nan,kb_n = \sum_{k=0}^{n} a_{n,k} (단 an,k=1k!∏j=0k−1(1−jn)≤1k!a_{n,k} = \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}(1 - \frac{j}{n}) \le \frac{1}{k!})입니다.

    K≤nK \le n을 고정하면 bn≥∑k=0Kan,kb_n \ge \sum_{k=0}^{K} a_{n,k}이고, 고정된 kk에 대해 n→∞n \to \infty일 때 an,k→1k!a_{n,k} \to \frac{1}{k!}이므로 lim inf⁡bn≥∑k=0K1k!\liminf b_n \ge \sum_{k=0}^{K} \frac{1}{k!}입니다.

    또한 bn≤∑k=0n1k!≤Sb_n \le \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le S이므로 lim sup⁡bn≤S\limsup b_n \le S입니다.

    K→∞K \to \infty로 보내면 lim⁡bn=S\lim b_n = S — 여기서 lim⁡bn\lim b_n으로 정의한 ee는 급수 SS와 같은 수입니다.

    두 정의가 일치하므로 e∉Qe \notin \mathbb{Q}는 정식 정리입니다(예: e=∑k=0∞1k!e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}의 나머지 항 평가로 증명됩니다).

    따라서 유리수 수열 (bn)(b_n)은 어떤 유리수에도 수렴하지 않습니다 — 2\sqrt2와는 다른, Q\mathbb{Q}의 또 하나의 구멍입니다.

바빌로니아 수열 (xn)(x_n)이 코시수열이지만 Q\mathbb{Q} 안에는 극한이 없음을 증명하세요.

이것이 '완비성'이 말하는 바입니다.

∣xm−xn∣→0  (m,n→∞),∄ r∈Q:xn→r|x_m - x_n| \to 0 \ \ (m,n \to \infty), \qquad \nexists\, r \in \mathbb{Q} : x_n \to r
n=8n=8 — 항들은 서로 끝없이 가까워지지만, 유리수 중에는 도착지가 없습니다.
증명 보기

  1. 문제 1의 오차 분석에서 en+1≤en28e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{8}, e1=14e_1 = \frac14을 얻었습니다.

    en≤2−ne_n \leq 2^{-n}임을 귀납법으로 보이면(n=1n=1일 때 성립하고, en+1≤2−2n8=2−(2n+3)≤2−(n+1)e_{n+1} \leq \frac{2^{-2n}}{8} = 2^{-(2n+3)} \leq 2^{-(n+1)}), en→0e_n \to 0입니다.

    ∣xn−2∣=enxn+2≤en2|x_n-\sqrt2| = \frac{e_n}{x_n+\sqrt2} \leq \frac{e_n}{2}이므로, 실수로서 xn→2x_n \to \sqrt2입니다.

  2. ε>0\varepsilon > 0이라 합시다.

    xn→2x_n \to \sqrt2이므로 n≥Nn \ge N일 때 ∣xn−2∣<ε/2|x_n - \sqrt2| < \varepsilon/2인 NN을 잡을 수 있습니다.

    그러면 m,n≥Nm, n \ge N일 때 ∣xm−xn∣≤∣xm−2∣+∣xn−2∣<ε/2+ε/2=ε|x_m - x_n| \leq |x_m - \sqrt2| + |x_n - \sqrt2| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon입니다.

    즉 (xn)(x_n)은 코시수열입니다.

  3. 만약 유리수 rr에 대해 xn→rx_n \to r이라면 극한의 유일성에 의해 r=2r = \sqrt2이어야 합니다.

    그런데 2∉Q\sqrt2 \notin \mathbb{Q}이므로 모순입니다.

    따라서 (xn)(x_n)은 Q\mathbb{Q} 안에서 극한을 갖지 않습니다.

  4. 참고로 2∉Q\sqrt2 \notin \mathbb{Q}의 고전적 증명: 2=pq\sqrt2 = \frac pq (기약분수)라 가정하면 p2=2q2p^2 = 2q^2이므로 pp는 짝수입니다. p=2kp = 2k라 두면 q2=2k2q^2 = 2k^2이므로 qq도 짝수 — 기약성에 모순입니다.

    2=pq ⇒ p2=2q2 ⇒ p,q both even, contradiction\sqrt2 = \frac pq \ \Rightarrow\ p^2 = 2q^2 \ \Rightarrow\ p, q \text{ both even, contradiction}

3. 수열