바젤 문제

제곱의 역수를 쌓은 계단이 어떤 평면에 한없이 다가가는 장면입니다. 그 평면의 높이가 바로 유명한 답입니다.

부분합의 계단은 올라갈수록 한 걸음이 작아집니다. 그래서 어떤 높이를 향해 모여듭니다. 그 높이에 원주율이 숨어 있다는 것이 놀라운 점입니다. 왜 원주율이 나타나는지는 아이디어 수준에서만 짚습니다.

예를 들면, 📦 상자를 벽에 그은 선 아래로 차곡차곡 쌓습니다. 상자가 점점 작아져서 선에 닿지는 않아도 눈으로 구분이 안 될 만큼 바짝 다가갑니다.

∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

예제

꼬리합 RN=∑n>N1n2R_N = \sum_{n>N}\frac{1}{n^2}에 대해 RN<1NR_N < \frac{1}{N}을 증명하세요.

RN<∑n>N(1n−1−1n)=1NR_N < \sum_{n>N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{N}
N=20N = 20: 실제 꼬리 ≈0.0488<1/20=0.05\approx 0.0488 < 1/20 = 0.05.
증명 보기

  1. n≥2n \ge 2에서 1n2<1n(n−1)=1n−1−1n\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}입니다.

  2. 유한합은 망원합입니다: ∑n=N+1M(1n−1−1n)=1N−1M<1N\sum_{n=N+1}^{M}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{N}-\frac{1}{M} < \frac{1}{N}.

    M→∞M \to \infty로만 보내면 RN≤1NR_N \le \frac{1}{N}까지만 얻어집니다.

    엄격성을 되살리려면 차이를 보세요: 1n(n−1)−1n2=1n2(n−1)>0\frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^2(n-1)} > 0이므로, 모든 MM에 대해 차이의 합은 첫 항 이상입니다: ∑n=N+1M(1n(n−1)−1n2)≥1N(N+1)2>0\sum_{n=N+1}^{M}\left(\frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n^2}\right) \ge \frac{1}{N(N+1)^2} > 0.

    따라서 ∑n=N+1M1n2≤1N−1M−1N(N+1)2\sum_{n=N+1}^{M}\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{N} - \frac{1}{M} - \frac{1}{N(N+1)^2}이고, M→∞M \to \infty로 보내면 RN≤1N−1N(N+1)2<1NR_N \le \frac{1}{N} - \frac{1}{N(N+1)^2} < \frac{1}{N}입니다.

  3. 예를 들어 N=20N = 20이면 꼬리가 0.050.05 미만 — 부분합 S20S_{20}은 이미 극한의 0.050.05 이내에 있습니다.

∑n=1∞1(2n)2=π224\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} = \frac{\pi^2}{24}임을 바젤 문제의 결과로부터 유도하세요.

∑n=1∞1(2n)2=14∑n=1∞1n2=π224\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{24}
짝수 항만 모아도 같은 모양으로 수렴합니다.
증명 보기

  1. 1(2n)2=14⋅1n2\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^2}입니다.

  2. 양항급수이므로 상수를 밖으로 꺼낼 수 있어, ∑n=1∞1(2n)2=14∑n=1∞1n2=14⋅π26=π224\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}입니다.

홀수 항의 합 ∑k=0∞1(2k+1)2=π28\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}을 유도하세요.

∑odd1n2=π26−π224=π28\sum_{\mathrm{odd}}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8}
전체에서 짝수 항을 빼면 홀수 항만 남습니다.
증명 보기

  1. 양항급수는 (짝수 항의 합) + (홀수 항의 합)으로 나눌 수 있습니다.

  2. 따라서 홀수 항의 합 =π26−π224=4π2−π224=3π224=π28= \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{4\pi^2-\pi^2}{24} = \frac{3\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{8}입니다.

7. 급수