코시 평균값 정리

코시 평균값 정리: $f, g$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분가능하고 $g' \neq 0$이면, 어떤 $\xi \in (a, b)$에 대해 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$입니다.

$g(x) = x$를 대입하면 $g(b) - g(a) = b - a$, $g'(\xi) = 1$이므로 식은 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{f'(\xi)}{1} = f'(\xi)$이 됩니다.

이것이 바로 보통의 평균값 정리입니다 — 코시 형태에서 $g(x) = x$를 택한 특수 경우입니다.

$x > 0$일 때 $\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$입니다.

$f(t) = \sin t$, $g(t) = t$는 모두 $[0, x]$에서 연속이고 $(0, x)$에서 미분가능하므로 코시 평균값 정리의 가정이 성립합니다.

구간 $[0, x]$에서 이 정리를 적용하면 ($g' = 1 \neq 0$) 어떤 $\xi_x \in (0, x)$에 대해 $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \frac{\cos \xi_x}{1} = \cos \xi_x$입니다.

$0 < \xi_x < x$이므로 $x \to 0^+$일 때 조임으로 $\xi_x \to 0$입니다. $\cos$는 연속이므로 (미분가능 ⇒ 연속) $\cos \xi_x \to \cos 0 = 1$입니다.

$x < 0$일 때는 $[x, 0]$ 구간에 같은 정리를 적용하면 $\xi_x \in (x, 0)$을 얻고 마찬가지로 $\cos \xi_x \to 1$입니다. 따라서 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$입니다.

$f(x) = e^x - 1 - x$, $g(x) = x^2$라 두면 $f(0) = g(0) = 0$이고, $[0, x]$($x > 0$)에서 연속, $(0, x)$에서 미분가능하며 $g'(t) = 2t \neq 0$입니다.

코시 평균값 정리에 의해 어떤 $\xi \in (0, x)$에 대해 $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{e^{\xi}-1}{2\xi}$입니다. 다시 $f_1(t) = e^t - 1$, $g_1(t) = 2t$에 $[0, \xi]$에서 적용하면 ($f_1(0) = g_1(0) = 0$, $g_1' = 2 \neq 0$) 어떤 $\xi_2 \in (0, \xi)$에 대해 $\frac{e^{\xi}-1}{2\xi} = \frac{e^{\xi_2}}{2}$를 얻습니다.

$0 < \xi_2 < \xi < x$이므로 $x \to 0^+$일 때 $\xi_2 \to 0$이고, $e^t$의 연속성에 의해 $e^{\xi_2} \to 1$입니다.

따라서 비율은 $\frac12$로 수렴합니다.

$x < 0$도 $[x, 0]$에서 같은 논리로 성립하므로 $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac12$입니다.