평행사변형 법칙 | Real Analysis

평행사변형의 두 대각선과 두 변 사이에 숨어 있는 등식을 봅니다. 지수

p

를 움직이며 그 등식이 언제 살아남는지 확인하는 장면입니다. 내적에서 온 노름은 항상 이 등식을 만족합니다.

e_1

과

e_2

로 계산하면 왼쪽은

2 \cdot 2^{2/p}

, 오른쪽은

4

가 됩니다. 둘이 같아지는 경우는

p = 2

뿐입니다. 그래서

p

가 2가 아닌

\ell^p

노름은 어떤 내적에서도 나올 수 없습니다. 예를 들면, 📐 자로 그린 평행사변형은 그대로인데 재는 자만 바꿉니다. 자를 바꿨을 뿐인데 대각선에 대한 등식이 깨진다면, 그 자는 내적이라는 설계도에서 나온 것이 아닙니다.

예제

실수 내적공간에서 임의의 $x, y$ 에 대해 평행사변형 법칙 $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$ 가 성립함을 완전히 증명하세요.

\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2

p = 2

: 유클리드 노름은 내적에서 오며, 좌변

= 4 =

우변 — 평행사변형 법칙이 성립하는 경우입니다.

증명 보기

합의 노름을 내적으로 전개합니다. 실수 내적공간에서는 $\|x+y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle$ 이고, 쌍선형성과 대칭성으로 $\langle x+y, x+y \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 입니다. 즉 $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 입니다.
차의 노름도 같은 방법으로 전개합니다. $\|x-y\|^2 = \langle x-y, x-y \rangle = \langle x, x \rangle - \langle x, y \rangle - \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 입니다. 즉 $\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 입니다.
두 식을 더합니다. 교차항은 상쇄됩니다: $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = \left(\|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2\right) + \left(\|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2\right) = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$ . 이것이 평행사변형 법칙이며, 증명이 완료됩니다.
참고: 이것은 실수 경우입니다. 복소 내적공간에서도 같은 전개로 법칙 자체는 성립하지만, 아래 문제 3의 극화 항등식은 $\mathrm{Re}$ 를 쓰는 형태로 바뀝니다 — 여기서는 필요하지 않습니다.

$\ell^p(\mathbb{R}^2)$ 의 $e_1 = (1,0)$ , $e_2 = (0,1)$ 에 대해 평행사변형 법칙의 양변을 계산하고, 등식이 성립하는 경우가 $p = 2$ 뿐임을 완전히 증명하세요. 따라서 $p \ne 2$ 이면 $\ell^p$ 노름은 어떤 내적에서도 나오지 않습니다.

\|e_1+e_2\|_p^2 + \|e_1-e_2\|_p^2 = 2^{1 + 2/p}, \qquad 2\|e_1\|_p^2 + 2\|e_2\|_p^2 = 4 = 2^2

p = 3

: 좌변

= 2^{5/3} \approx 3.1748

, 우변

= 4

— 평행사변형 법칙이 눈에 보이게 깨집니다.

증명 보기

먼저 각 노름을 계산합니다. $e_1 + e_2 = (1,1)$ 이므로 $\|e_1+e_2\|_p = \left(|1|^p + |1|^p\right)^{1/p} = 2^{1/p}$ 이고, 제곱하면 $\|e_1+e_2\|_p^2 = \left(2^{1/p}\right)^2 = 2^{2/p}$ 입니다. 마찬가지로 $e_1 - e_2 = (1,-1)$ 이므로 $\|e_1-e_2\|_p = \left(|1|^p + |-1|^p\right)^{1/p} = 2^{1/p}$ 이고 $\|e_1-e_2\|_p^2 = 2^{2/p}$ 입니다.
양변을 모읍니다. 좌변은 $\|e_1+e_2\|_p^2 + \|e_1-e_2\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2 \cdot 2^{2/p} = 2^{1 + 2/p}$ 입니다. 한편 $\|e_1\|_p = \|e_2\|_p = 1$ 이므로 우변은 $2\|e_1\|_p^2 + 2\|e_2\|_p^2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 = 2^2$ 입니다. 따라서 등식은 $2^{1 + 2/p} = 2^2$ 와 동치입니다.
$(\Rightarrow)$ 등식 $2^{1 + 2/p} = 2^2$ 가 성립한다고 가정합니다. 함수 $t \mapsto 2^t$ 는 단사이므로 지수가 같아야 합니다: $1 + 2/p = 2$ . 따라서 $2/p = 1$ , 즉 $p = 2$ 입니다.
$(\Leftarrow)$ 반대로 $p = 2$ 라고 가정합니다. 그러면 $1 + 2/p = 1 + 1 = 2$ 이므로 좌변은 $2^{1 + 2/p} = 2^2 = 4$ 이고, 이는 우변 $4$ 와 직접 같습니다. 즉 등식이 성립합니다.
결론: $p \ne 2$ 이면 $\ell^p$ 노름은 평행사변형 법칙을 어깁니다. 문제 1에서 내적에서 온 노름은 항상 이 법칙을 만족하므로, 요르단-폰 노이만 정리에 의해 $p \ne 2$ 인 $\ell^p$ 노름은 어떤 내적에서도 유도될 수 없습니다.

실수 내적공간에서 극화 항등식 $\langle x, y \rangle = \frac{\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2}{4}$ 가 성립함을 완전히 검증하세요.

\langle x, y \rangle = \frac{\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2}{4}

p = 2

: 평행사변형 법칙이 성립하는 유클리드 경우 — 극화 항등식으로 노름에서 내적을 되읽을 수 있습니다.

증명 보기

문제 1의 전개를 다시 씁니다: $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 이고 $\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$ 입니다.
두 식을 뺍니다. $\|x\|^2$ 항과 $\|y\|^2$ 항은 사라지고 교차항만 남습니다: $\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = \left(\|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2\right) - \left(\|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2\right) = 4\langle x, y \rangle$ 입니다.
양변을 $4$ 로 나누면 $\frac{\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2}{4} = \langle x, y \rangle$ — 극화 항등식이 검증됩니다. 즉 내적은 노름만으로 완전히 결정됩니다.
요르단-폰 노이만 정리에 따르면, 노름이 평행사변형 법칙을 만족할 때마다 바로 이 식이 내적을 정의합니다 (진술만 둡니다).