횔더 부등식

켤레 지수 $1/p + 1/q = 1$ ( $1 < p, q < \infty$ )에 대해 영의 부등식 $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ ( $a, b \ge 0$ )를 $\log$ 의 오목성을 이용해 완전히 증명하세요.

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}, \qquad \text{equality} \iff a^p = b^q

p = 2

,

n = 8

: 영의 부등식은 각 항

a_k b_k \le \frac{a_k^2}{2} + \frac{b_k^2}{2}

에 들어가고, 합하면 횔더 부등식(코시-슈바르츠)이 됩니다.

증명 보기

$a = 0$ 또는 $b = 0$ 이면 양변이 자명하므로 ( $0 \le$ 우변) $a, b > 0$ 이라 둡니다. $ab = \exp(\log a + \log b) = \exp\left(\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q)\right)$ 입니다. $\log$ 는 오목함수이므로 가중 젠센 부등식 $\log\left(\frac{X}{p} + \frac{Y}{q}\right) \ge \frac{1}{p}\log X + \frac{1}{q}\log Y$ ( $X, Y > 0$ )가 성립합니다.
$X = a^p$ , $Y = b^q$ 를 대입하면 $\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q) \le \log\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right)$ 입니다. 양변에 단조증가인 $\exp$ 를 씌우면 $\exp\left(\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q)\right) = ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ — 영의 부등식 증명 완료.
등호 조건: $\log$ 는 엄격 오목(stricly concave)이므로 젠센에서 등호는 $X = Y$ 일 때, 즉 $a^p = b^q$ 일 때만 성립합니다. 이 등호 조건이 아래 문제 3에서 횔더의 등호 조건으로 이어집니다.

영의 부등식으로부터 정규화(normalization) 논증으로 횔더 부등식 $\sum_{k=1}^{n} |a_k b_k| \le \left(\sum |a_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum |b_k|^q\right)^{1/q}$ 를 완전히 증명하세요.

\sum A_k B_k \le \sum\left(\frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}\right) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

p = 3

(

q = 1.5

),

n = 8

: 좌변

H_8 \approx 2.7179

, 우변

\approx 4.245

— 틈새가 양수이며 부등식이 성립합니다.

증명 보기

$\|a\|_p = 0$ 이면 모든 $a_k = 0$ 이라 양변이 0이고, $\|b\|_q = 0$ 도 마찬가지이므로, $\|a\|_p, \|b\|_q > 0$ 이라 둡니다. 정규화된 수열 $A_k = |a_k|/\|a\|_p$ , $B_k = |b_k|/\|b\|_q$ 를 정의하면 $\sum A_k^p = 1$ , $\sum B_k^q = 1$ 입니다.
각 $k$ 에 영의 부등식을 적용합니다: $A_k B_k \le \frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}$ . $k = 1, \dots, n$ 에 대해 합하면 $\sum A_k B_k \le \frac{1}{p}\sum A_k^p + \frac{1}{q}\sum B_k^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 입니다.
양변에 $\|a\|_p\|b\|_q$ 를 곱하면 $\sum |a_k b_k| = \|a\|_p\|b\|_q \sum A_k B_k \le \|a\|_p\|b\|_q$ — 횔더 부등식 증명 완료. $p = q = 2$ 인 경우가 코시-슈바르츠 부등식입니다. 씬에서 $p$ 를 움직이면 이 우변이 어떻게 팽창·수축하는지 보입니다.

횔더 부등식에서 등호가 성립할 조건이 $|a_k|^p$ 와 $|b_k|^q$ 의 비례 관계임을 증명하세요: $|a_k|^p = C\,|b_k|^q$ (모든 $k$ , 어떤 상수 $C \ge 0$ ).

\text{equality in Hölder} \iff A_k^p = B_k^q \;\forall k \iff |a_k|^p = C\,|b_k|^q

p = 2

,

n = 8

:

a_k = 1/k

는 상수 수열

b_k = 1

과 비례하지 않으므로 틈새가 0이 아닙니다 — 등호 조건이 왜 깨지는지 보입니다.

증명 보기

문제 2의 증명에서 부등식은 딱 한 곳에서만 일어났습니다: 각 항에 적용한 영의 부등식 $A_k B_k \le \frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}$ 입니다 (그 합 $\frac{1}{p}\sum A_k^p + \frac{1}{q}\sum B_k^q = 1$ 은 항등식). 따라서 전체에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 $k$ 에서 영의 부등식이 등호가 되는 것입니다.
문제 1의 등호 조건에 의해 이는 $A_k^p = B_k^q$ (모든 $k$ )와 동치입니다. $A_k = |a_k|/\|a\|_p$ , $B_k = |b_k|/\|b\|_q$ 를 되돌리면 $\frac{|a_k|^p}{\|a\|_p^p} = \frac{|b_k|^q}{\|b\|_q^q}$ — 즉 $|a_k|^p = C\,|b_k|^q$ (단 $C = \|a\|_p^p/\|b\|_q^q \ge 0$ 는 $k$ 와 무관한 상수)입니다.
역도 성립합니다: $|a_k|^p = C|b_k|^q$ 이면 정규화 후 $A_k^p = B_k^q$ 가 되어 모든 영의 부등식이 등호가 됩니다. 씬의 $a_k = 1/k$ , $b_k = 1$ 에서는 $|a_k|^p$ 가 상수가 아니라 틈새가 0이 될 수 없습니다 — $p \to 1^+$ 에서 틈새가 0으로 가는 것은 비례 때문이 아니라 우변 자체가 무너지는 극한 현상입니다.

예제