유리수의 구멍

xn+1=xn+2/xn2x_{n+1}=\frac{x_n+2/x_n}{2}의 모든 항은 유리수지만, 극한 2\sqrt{2}는 유리수가 아닙니다. 유리수 집합 Q\mathbb{Q}에는 구멍이 있다는 뜻입니다. 무리수임의 엄밀한 증명은 다루지 않고 아이디어 수준에서만 봅니다.

xn+1=xn+2/xn2→2x_{n+1}=\frac{x_n+2/x_n}{2}\to\sqrt{2}
2∉Q\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

x0=1x_0 = 1, xn+1=xn+2/xn2x_{n+1} = \frac{x_n + 2/x_n}{2}이라 할 때 x5x_5를 정확한 분수로 구하고, ∣x5−2∣<10−24|x_5 - \sqrt{2}| < 10^{-24}임을 증명하세요.

x5=886731088897627013566048x_5 = \frac{886731088897}{627013566048}
∣x5−2∣<10−24|x_5 - \sqrt{2}| < 10^{-24}
n=5n = 5 — 다섯 번 반복하면 소수점 아래 24자리가 맞습니다.
증명 보기
  1. 분수 형태로 차례로 계산하면 x1=32x_1 = \frac{3}{2}, x2=1712x_2 = \frac{17}{12}, x3=577408x_3 = \frac{577}{408}, x4=665857470832x_4 = \frac{665857}{470832}, x5=886731088897627013566048x_5 = \frac{886731088897}{627013566048}입니다. 점화식 pq↦p2+2q22pq\frac{p}{q} \mapsto \frac{p^2+2q^2}{2pq}를 그대로 적용한 결과입니다.
  2. 또한 pn+12−2qn+12=(pn2+2qn2)2−8pn2qn2=(pn2−2qn2)2p_{n+1}^2 - 2q_{n+1}^2 = (p_n^2+2q_n^2)^2 - 8p_n^2q_n^2 = (p_n^2-2q_n^2)^2이고 p12−2q12=9−8=1p_1^2-2q_1^2 = 9-8 = 1이므로, 모든 n≥1n \geq 1에 대해 pn2−2qn2=1p_n^2-2q_n^2 = 1입니다. 따라서 gcd⁡(pn,qn)=1\gcd(p_n,q_n)=1 — 모두 기약분수입니다.
  3. en=xn2−2e_n = x_n^2 - 2라 두면 직접 전개로 en+1=en24xn2e_{n+1} = \frac{e_n^2}{4x_n^2}을 얻습니다. x1=32>2x_1 = \frac32 > \sqrt2이고 xn+1−2=(xn−2)22xn≥0x_{n+1}-\sqrt2 = \frac{(x_n-\sqrt2)^2}{2x_n} \geq 0이므로 모든 n≥1n \geq 1에 대해 xn≥2x_n \geq \sqrt2이고, 따라서 en+1≤en28e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{8}입니다.
  4. e1=14e_1 = \frac14, e2=1144e_2 = \frac{1}{144}, e3=1166464e_3 = \frac{1}{166464}, e4=1221682772224<4.6×10−12e_4 = \frac{1}{221682772224} < 4.6\times 10^{-12}입니다. 따라서 e5≤e428<2.7×10−24e_5 \leq \frac{e_4^2}{8} < 2.7\times 10^{-24}이고, ∣x5−2∣=e5x5+2<2.7×10−242.8<10−24|x_5-\sqrt2| = \frac{e_5}{x_5+\sqrt2} < \frac{2.7\times 10^{-24}}{2.8} < 10^{-24}입니다.

수열 bn=(1+1n)nb_n = \left(1+\frac1n\right)^n의 모든 항이 유리수임을 보이고, 그 극한인 무리수 ee가 Q\mathbb{Q}의 또 다른 '구멍'임을 설명하세요.

bn=(n+1n)n∈Q,lim⁡n→∞bn=e∉Qb_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \in \mathbb{Q}, \qquad \lim_{n\to\infty} b_n = e \notin \mathbb{Q}
바빌로니아법 n=5n=5 — 유리수 항이 무리수 극한으로 모이는 같은 현상입니다.
증명 보기
  1. bn=(n+1n)nb_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n이고 n+1n\frac{n+1}{n}은 유리수입니다. 유리수의 자연수 거듭제곱은 유리수이므로 모든 nn에 대해 bn∈Qb_n \in \mathbb{Q}입니다.
  2. 수열 (bn)(b_n)은 증가하고 위로 유계이므로(표준적인 사실로 받아들입니다) 수렴합니다. 그 극한을 ee라 부릅니다.
  3. e∉Qe \notin \mathbb{Q}는 정식 정리입니다(예: e=∑k=0∞1k!e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}의 나머지 항 평가로 증명됩니다). 따라서 유리수 수열 (bn)(b_n)은 어떤 유리수에도 수렴하지 않습니다 — 2\sqrt2와는 다른, Q\mathbb{Q}의 또 하나의 구멍입니다.

바빌로니아 수열 (xn)(x_n)이 코시수열이지만 Q\mathbb{Q} 안에는 극한이 없음을 증명하세요. 이것이 '완비성'이 말하는 바입니다.

∣xm−xn∣→0  (m,n→∞),∄ r∈Q:xn→r|x_m - x_n| \to 0 \ \ (m,n \to \infty), \qquad \nexists\, r \in \mathbb{Q} : x_n \to r
n=8n=8 — 항들은 서로 끝없이 가까워지지만, 유리수 중에는 도착지가 없습니다.
증명 보기
  1. 문제 1의 오차 분석에서 en+1≤en28e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{8}, e1=14e_1 = \frac14을 얻었습니다. en≤2−ne_n \leq 2^{-n}임을 귀납법으로 보이면(n=1n=1일 때 성립하고, en+1≤2−2n8=2−(2n+3)≤2−(n+1)e_{n+1} \leq \frac{2^{-2n}}{8} = 2^{-(2n+3)} \leq 2^{-(n+1)}), en→0e_n \to 0입니다. ∣xn−2∣=enxn+2≤en2|x_n-\sqrt2| = \frac{e_n}{x_n+\sqrt2} \leq \frac{e_n}{2}이므로, 실수로서 xn→2x_n \to \sqrt2입니다.
  2. 따라서 ∣xm−xn∣≤∣xm−2∣+∣xn−2∣|x_m - x_n| \leq |x_m - \sqrt2| + |x_n - \sqrt2|는 m,nm, n이 클 때 임의로 작아집니다. 즉 (xn)(x_n)은 코시수열입니다.
  3. 만약 유리수 rr에 대해 xn→rx_n \to r이라면 극한의 유일성에 의해 r=2r = \sqrt2이어야 합니다. 그런데 2∉Q\sqrt2 \notin \mathbb{Q}이므로 모순입니다. 따라서 (xn)(x_n)은 Q\mathbb{Q} 안에서 극한을 갖지 않습니다.
  4. 참고로 2∉Q\sqrt2 \notin \mathbb{Q}의 고전적 증명: 2=pq\sqrt2 = \frac pq (기약분수)라 가정하면 p2=2q2p^2 = 2q^2이므로 pp는 짝수입니다. p=2kp = 2k라 두면 q2=2k2q^2 = 2k^2이므로 qq도 짝수 — 기약성에 모순입니다.
    2=pq ⇒ p2=2q2 ⇒ p,q both even, contradiction\sqrt2 = \frac pq \ \Rightarrow\ p^2 = 2q^2 \ \Rightarrow\ p, q \text{ both even, contradiction}

2. 수열