2. 수열

ε-N 논법으로 수열의 수렴을 다루고, 단조·코시 수열과 limsup/liminf의 기술을 익힙니다.

• ε-N 극한 — $\varepsilon$ 띠를 좁혀도 수열의 꼬리가 전부 그 안에 들어가는 순간을 확인합니다. 그때의 $N$이 바로 $\forall\varepsilon>0\ \exists N$의 $N$입니다.
• 수열공간과 함수공간 — $\ell^1, \ell^2, \ell^\infty$와 $C[0,1]$ — 점별 연산으로는 벡터공간이고, 노름 $\|x - y\|$로는 거리공간입니다. 노름공간이 두 세계를 잇는 다리입니다. $x_n = 1/n^\alpha$로 포함관계 $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$를 눈으로 확인합니다. $\ell^p$와 $C[0,1]$이 완비(바나흐 공간)라는 것은 알려진 정리로만 언급합니다.
• 코시-슈바르츠 부등식 — $|\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$ — 내적의 절댓값은 노름의 곱을 넘지 않습니다. $0 \le \|x-ty\|^2$의 판별식으로 증명하고, 등호는 두 벡터가 평행할 때만 성립합니다.
• 유리수의 구멍 — $x_{n+1}=\frac{x_n+2/x_n}{2}$의 모든 항은 유리수지만, 극한 $\sqrt{2}$는 유리수가 아닙니다. 유리수 집합 $\mathbb{Q}$에는 구멍이 있다는 뜻입니다. 무리수임의 엄밀한 증명은 다루지 않고 아이디어 수준에서만 봅니다.
• 실수의 구성 — 실수란 유리수 코시수열의 동치류입니다. $\sqrt{2}$의 소수점 자릿수를 늘려 가면 유리수 항들이 구멍으로 모여듭니다 — 그 모임 자체가 실수 $\sqrt{2}$입니다. 완비성의 정체는 이 구성에 있습니다.
• 볼차노–바이어슈트라스 — 유계수열 속에는 항상 수렴하는 부분수열이 숨어 있습니다. 구간을 반으로 접어 점이 무한히 모이는 쪽을 따라가면 됩니다.
• 단조수열과 코시수열 — $a_n = 1 - 2^{-n}$은 증가하면서 위로 유계이므로 상한 $1$에 수렴합니다(단조수렴 정리). 꼬리 지름이 $0$으로 줄어드는 모습을 보며, 모든 수렴수열이 코시수열임을 확인합니다.
• 상극한과 하극한 — 꼬리들의 상한과 하한이 모이는 곳: $a_n = (-1)^n(1+1/n)$에서 $\limsup a_n = 1$, $\liminf a_n = -1$. $\limsup a_n = \liminf a_n \iff \lim a_n$ 존재.
• 체자로 정리 — 수열 버전 로피탈: $(b_n)$이 엄격히 증가하며 무한대로 발산하고 $\lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L$이면 $\lim \frac{a_n}{b_n} = L$. $a_n = 1^2+\cdots+n^2$, $b_n = n^3$에서 차분 비율이 먼저, 전체 비율이 뒤따라 $\frac{1}{3}$에 모이는 것을 보세요.