이중수열과 반복극한

이중수열을 보는 씬입니다. 격자에 찍힌 값

a_{m,n}

을 보며, 행 방향 극한과 열 방향 극한이 어떻게 갈리는지 확인합니다. 이중극한은 두 인덱스가 함께 커질 때의 극한입니다. 반복극한은 한쪽을 먼저 보내고 나머지를 보냅니다. 순서를 바꾸면 답이 달라질 수 있습니다. 두 반복극한이 같아도 이중극한이 없을 수 있습니다. 예를 들면, 📋 표를 가로줄부터 읽는 것과 세로줄부터 읽는 것은 다릅니다. 읽는 순서를 바꾸면, 전혀 다른 결론에 닿을 수 있습니다.

예제

이중수열 $a_{m,n} = \frac{m}{m+n}$ 에 대해 다음을 완전히 증명하세요. (i) 각 $m$ 을 고정하면 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = 0$ 이고, 따라서 반복극한 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = 0$ 입니다. (ii) 각 $n$ 을 고정하면 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 1$ 이고, 따라서 반복극한 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 1$ 입니다. (iii) 그럼에도 이중극한 $\lim_{m,n\to\infty} a_{m,n}$ (Pringsheim 극한)은 존재하지 않습니다.

\lim_{n\to\infty} \frac{m}{m+n} = 0 \quad (m \text{ fixed}), \qquad \lim_{m\to\infty} \frac{m}{m+n} = 1 \quad (n \text{ fixed})

a_{k,k} = \frac{1}{2}, \qquad a_{k,k^2} = \frac{1}{1+k} \to 0

a_{m,n} = \frac{m}{m+n}

: 행 고정 극한은 모두

0

, 열 고정 극한은 모두

1

— 대각선은 늘

\frac{1}{2}

에 머뭅니다.

증명 보기

(i) $m$ 을 고정합니다. $m + n > n$ 이므로 $0 < a_{m,n} = \frac{m}{m+n} < \frac{m}{n}$ . $\varepsilon > 0$ 이 주어지면 $N > \frac{m}{\varepsilon}$ 로 잡습니다. $n > N$ 이면 $\frac{m}{n} < \varepsilon$ 이라서 $|a_{m,n} - 0| < \varepsilon$ 입니다. 따라서 모든 $m$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = 0$ 이고, 안쪽 극한이 상수 $0$ 이므로 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = \lim_{m\to\infty} 0 = 0$ 입니다.
(ii) $n$ 을 고정합니다. $a_{m,n} = \frac{m}{m+n} = 1 - \frac{n}{m+n}$ 이므로 $|a_{m,n} - 1| = \frac{n}{m+n} < \frac{n}{m}$ . $\varepsilon > 0$ 이 주어지면 $N > \frac{n}{\varepsilon}$ 로 잡습니다. $m > N$ 이면 $\frac{n}{m} < \varepsilon$ 이라서 $|a_{m,n} - 1| < \varepsilon$ 입니다. 따라서 모든 $n$ 에 대해 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 1$ 이고, $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1$ 입니다.
(iii) 이중극한 $L$ 이 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어 냅니다. $\varepsilon = \frac{1}{8}$ 에 대해, 어떤 $N$ 이 존재해서 $m, n > N$ 이면 $|a_{m,n} - L| < \frac{1}{8}$ 입니다. 대각선 위의 점 $(k, k)$ ( $k > N$ )에서는 $a_{k,k} = \frac{k}{k+k} = \frac{1}{2}$ 이므로 $\left|\frac{1}{2} - L\right| < \frac{1}{8}$ , 즉 $L > \frac{3}{8}$ 입니다. 한편 점 $(k, k^2)$ ( $k > \max(N, 8)$ )에서는 $a_{k,k^2} = \frac{k}{k+k^2} = \frac{1}{1+k} < \frac{1}{9} < \frac{1}{8}$ 이고 $|a_{k,k^2} - L| < \frac{1}{8}$ 이므로 $L < \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ 입니다. $\frac{1}{4} < \frac{3}{8}$ 이라 두 결론이 충돌합니다. 따라서 이중극한은 존재하지 않습니다. 참고: (i)과 (ii)의 반복극한이 서로 다르다는 것만으로도, 문제 2 정리의 대우에 의해 이중극한의 부재가 따라 나옵니다.

다음 정리를 완전히 증명하세요. 이중수열 $a_{m,n}$ 이 Pringsheim 의미로 $L$ 에 수렴하고 (즉 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $m, n > N$ 이면 $|a_{m,n} - L| < \varepsilon$ 인 $N$ 이 존재하고), 각 고정된 $m$ 마다 안쪽 극한 $b_m = \lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 이 존재하면, $\lim_{m\to\infty} b_m = L$ 입니다. 결론: 이중극한이 존재하고 두 반복극한이 모두 존재하면, 두 반복극한은 이중극한과 같습니다.

m, n > N \implies |a_{m,n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}, \qquad |b_m - L| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \quad (m > N)

a_{m,n} = \frac{(-1)^n}{m}

: 이중극한은

0

이고,

m

방향 안쪽 극한이 존재하는 순서에서는 반복극한도

0

— 정리가 예측하는 그대로입니다.

증명 보기

$\varepsilon > 0$ 을 고정합니다. 이중극한의 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$ 에 적용하면, 어떤 $N$ 이 존재해서 $m, n > N \implies |a_{m,n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$ 를 만족합니다.
이제 $m > N$ 을 고정합니다. 모든 $n > N$ 에 대해 $|a_{m,n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$ 입니다. $|b_m - L| \le \frac{\varepsilon}{2}$ 임을 보입니다. 반대로 $|b_m - L| > \frac{\varepsilon}{2}$ 라 가정하고 $\delta = |b_m - L| - \frac{\varepsilon}{2} > 0$ 으로 둡니다. $a_{m,n} \to b_m$ ( $n \to \infty$ )이므로, 충분히 큰 $n$ (특히 $n > N$ 인 $n$ )에 대해 $|a_{m,n} - b_m| < \delta$ 입니다. 그러면 $|a_{m,n} - L| \ge |b_m - L| - |a_{m,n} - b_m| > |b_m - L| - \delta = \frac{\varepsilon}{2}$ 가 되어 앞 단계와 모순됩니다. 따라서 $|b_m - L| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$ 입니다.
즉 모든 $m > N$ 에 대해 $|b_m - L| < \varepsilon$ 입니다. $\varepsilon > 0$ 은 임의였으므로 $\lim_{m\to\infty} b_m = L$ , 즉 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = L$ 입니다. 역할을 바꾼 같은 논증으로, 각 $n$ 마다 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n}$ 이 존재하면 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = L$ 입니다. 따라서 이중극한이 존재하고 두 반복극한이 모두 존재하면 셋은 모두 같습니다.

이중수열 $a_{m,n} = \frac{(-1)^n}{m}$ 에 대해 다음을 완전히 증명하세요. (i) 이중극한 $\lim_{m,n\to\infty} a_{m,n} = 0$ 이 존재합니다. (ii) 그러나 각 고정된 $m$ 마다 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 은 존재하지 않으므로, 반복극한 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 은 존재하지 않습니다. (iii) 다른 순서의 반복극한 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n}$ 은 존재하고 $0$ 과 같습니다.

|a_{m,n}| = \frac{1}{m}, \qquad a_{m,2j} = \frac{1}{m}, \qquad a_{m,2j+1} = -\frac{1}{m}

a_{m,n} = \frac{(-1)^n}{m}

: 행마다

\pm\frac{1}{m}

사이를 영원히 진동하지만, 행 번호가 커지면 진폭 자체가

0

으로 죽습니다.

증명 보기

(i) 모든 $m, n$ 에 대해 $|a_{m,n} - 0| = \frac{|(-1)^n|}{m} = \frac{1}{m}$ 입니다 — $n$ 에는 전혀 의존하지 않습니다. $\varepsilon > 0$ 이 주어지면 $N > \frac{1}{\varepsilon}$ 로 잡습니다. $m > N$ 이면 ( $n$ 이 무엇이든) $|a_{m,n}| = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon$ 입니다. 따라서 Pringsheim 의미로 $a_{m,n} \to 0$ 입니다.
(ii) $m$ 을 고정합니다. 짝수 $n = 2j$ 에서는 $a_{m,n} = \frac{1}{m}$ 이고, 홀수 $n = 2j+1$ 에서는 $a_{m,n} = -\frac{1}{m}$ 입니다. 극한 $b = \lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 이 존재한다고 가정합니다. $\varepsilon_0 = \frac{1}{2m} > 0$ 에 대해, 어떤 $N_0$ 가 존재해서 $n > N_0$ 이면 $|a_{m,n} - b| < \varepsilon_0$ 입니다. $N_0$ 보다 큰 짝수 $n$ 을 고르면 $\left|\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m}$ 이고, $N_0$ 보다 큰 홀수 $n$ 을 고르면 $\left|-\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m}$ 입니다. 삼각부등식으로 $\frac{2}{m} = \left|\left(\frac{1}{m} - b\right) + \left(b + \frac{1}{m}\right)\right| \le \left|\frac{1}{m} - b\right| + \left|-\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m} + \frac{1}{2m} = \frac{1}{m}$ 이 되어, $\frac{2}{m} < \frac{1}{m}$ 이라는 거짓 부등식을 얻습니다. 모순이므로 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 은 존재하지 않습니다. 이는 모든 $m$ 에서 성립하므로 반복극한 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$ 은 존재하지 않습니다.
(iii) $n$ 을 고정하면 $|a_{m,n}| = \frac{1}{m} \to 0$ ( $m \to \infty$ )이므로, 모든 $n$ 에 대해 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 0$ 입니다. 따라서 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = \lim_{n\to\infty} 0 = 0$ 이며, 이는 (i)의 이중극한과 같습니다. 문제 2의 정리와 모순되지 않습니다: 그 정리는 안쪽 극한이 존재하는 순서에서만 결론을 내리는데, 이 예에서는 한 순서에서만 안쪽 극한이 존재합니다.