ε-δ 정의

함수의 극한 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a} f(x) = L의 엄밀한 뜻: ε\varepsilon 띠를 아무리 좁혀도, aa 근처의 δ\delta 띠 안에서는 ff가 그 띠 안에 머뭅니다. f(x)=2xf(x)=2x, a=1a=1, L=2L=2에서 δ=ε/2\delta=\varepsilon/2를 확인합니다.

∀ε>0 ∃δ>0: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ 0 < \lvert x - a\rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon
∣2x−2∣=2∣x−1∣\lvert 2x - 2\rvert = 2\lvert x - 1\rvert

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

lim⁡x→23x=6\lim_{x \to 2} 3x = 6임을 ε\varepsilon-δ\delta 정의로 증명하고, 각 ε>0\varepsilon > 0에 대한 δ\delta를 구하세요.

δ(ε)=ε3,∣3x−6∣=3∣x−2∣\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{3},\qquad \lvert 3x - 6\rvert = 3\lvert x - 2\rvert
ε=0.3\varepsilon = 0.3 — 이 장면의 2x2x에서는 δ=ε/2=0.15\delta = \varepsilon/2 = 0.15; 문제의 3x3x에서는 기울기 33이 분모에 옵니다.
증명 보기
  1. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 δ=ε3\delta = \frac{\varepsilon}{3}이라 둡니다. 0<∣x−2∣<δ0 < \lvert x - 2\rvert < \delta이면 ∣3x−6∣=∣3(x−2)∣=3∣x−2∣<3δ=ε\lvert 3x - 6\rvert = \lvert 3(x - 2)\rvert = 3\lvert x - 2\rvert < 3\delta = \varepsilon입니다. 따라서 정의에 의해 lim⁡x→23x=6\lim_{x \to 2} 3x = 6입니다.
  2. 핵심은 ∣3x−6∣=3∣x−2∣\lvert 3x - 6\rvert = 3\lvert x - 2\rvert로 인수분해되는 것입니다: 기울기 33이 입력 오차를 증폭시키므로, δ=ε/3\delta = \varepsilon/3으로 정확히 상쇄합니다.
  3. 수치 확인: ε=0.03\varepsilon = 0.03이면 δ=0.01\delta = 0.01입니다. ∣x−2∣<0.01\lvert x - 2\rvert < 0.01인 모든 xx에 대해 ∣3x−6∣=3∣x−2∣<0.03=ε\lvert 3x - 6\rvert = 3\lvert x - 2\rvert < 0.03 = \varepsilon입니다.

lim⁡x→1x2=1\lim_{x \to 1} x^2 = 1임을 δ=min⁡(1,ε3)\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right)로 증명하세요.

∣x2−1∣=∣x−1∣⋅∣x+1∣<3δ≤ε\lvert x^2 - 1\rvert = \lvert x - 1\rvert \cdot \lvert x + 1\rvert < 3\delta \leq \varepsilon
ε=0.6\varepsilon = 0.6, δ=0.3\delta = 0.3 — 곡선 x2x^2에는 일정한 비율 δ/ε\delta/\varepsilon이 없지만, 이 장면의 직선에는 있습니다.
증명 보기
  1. ∣x2−1∣=∣(x−1)(x+1)∣=∣x−1∣⋅∣x+1∣\lvert x^2 - 1\rvert = \lvert (x-1)(x+1)\rvert = \lvert x - 1\rvert \cdot \lvert x + 1\rvert입니다. 문제는 ∣x+1∣\lvert x + 1\rvert인데, 이는 xx에 따라 변하므로 먼저 xx를 11 근처에 가둡니다.
  2. ∣x−1∣<1\lvert x - 1\rvert < 1이면 0<x<20 < x < 2이므로 ∣x+1∣=x+1<3\lvert x + 1\rvert = x + 1 < 3입니다. 따라서 ∣x2−1∣<3∣x−1∣\lvert x^2 - 1\rvert < 3\lvert x - 1\rvert입니다.
  3. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 δ=min⁡(1,ε3)\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right)이라 둡니다. ∣x−1∣<δ\lvert x - 1\rvert < \delta이면 두 조건 ∣x−1∣<1\lvert x - 1\rvert < 1과 ∣x−1∣<ε3\lvert x - 1\rvert < \frac{\varepsilon}{3}이 모두 성립하므로, ∣x2−1∣<3⋅ε3=ε\lvert x^2 - 1\rvert < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon입니다. 따라서 lim⁡x→1x2=1\lim_{x \to 1} x^2 = 1입니다.
  4. 수치 확인: ε=0.3\varepsilon = 0.3이면 δ=min⁡(1,0.1)=0.1\delta = \min(1, 0.1) = 0.1이고, ∣x−1∣<0.1\lvert x - 1\rvert < 0.1일 때 ∣x2−1∣<3⋅0.1=0.3=ε\lvert x^2 - 1\rvert < 3 \cdot 0.1 = 0.3 = \varepsilon입니다.

ff가 aa에서 L1L_1과 L2L_2로 수렴하면 L1=L2L_1 = L_2임을 증명하세요 (극한의 유일성).

∣L1−L2∣≤∣L1−f(x)∣+∣f(x)−L2∣<ε2+ε2=ε\lvert L_1 - L_2\rvert \leq \lvert L_1 - f(x)\rvert + \lvert f(x) - L_2\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
ε=0.1\varepsilon = 0.1 — 아무리 작은 ε\varepsilon을 잡아도 두 후보는 ε\varepsilon 안에 갇혀 결국 하나가 됩니다.
증명 보기
  1. ε>0\varepsilon > 0을 잡습니다. 정의에 의해, 0<∣x−a∣<δ10 < \lvert x - a\rvert < \delta_1이면 ∣f(x)−L1∣<ε2\lvert f(x) - L_1\rvert < \frac{\varepsilon}{2}인 δ1>0\delta_1 > 0과, 0<∣x−a∣<δ20 < \lvert x - a\rvert < \delta_2이면 ∣f(x)−L2∣<ε2\lvert f(x) - L_2\rvert < \frac{\varepsilon}{2}인 δ2>0\delta_2 > 0이 존재합니다. δ=min⁡(δ1,δ2)>0\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0이라 둡니다.
  2. 0<∣x−a∣<δ0 < \lvert x - a\rvert < \delta인 xx에 대해 (실수에서는 그런 xx가 항상 존재합니다) 삼각부등식으로 ∣L1−L2∣≤∣L1−f(x)∣+∣f(x)−L2∣<ε2+ε2=ε\lvert L_1 - L_2\rvert \leq \lvert L_1 - f(x)\rvert + \lvert f(x) - L_2\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon입니다.
  3. 이는 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 성립합니다. ∣L1−L2∣>0\lvert L_1 - L_2\rvert > 0이라면 ε=∣L1−L2∣2\varepsilon = \frac{\lvert L_1 - L_2\rvert}{2}를 잡으면 모순이므로, ∣L1−L2∣=0\lvert L_1 - L_2\rvert = 0, 즉 L1=L2L_1 = L_2입니다.

3. 연속함수