체자로 정리

수열 버전 로피탈: (bn)(b_n)이 엄격히 증가하며 무한대로 발산하고 lim⁡an+1−anbn+1−bn=L\lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L이면 lim⁡anbn=L\lim \frac{a_n}{b_n} = L. an=12+⋯+n2a_n = 1^2+\cdots+n^2, bn=n3b_n = n^3에서 차분 비율이 먼저, 전체 비율이 뒤따라 13\frac{1}{3}에 모이는 것을 보세요.

lim⁡an+1−anbn+1−bn=L  ⟹  lim⁡anbn=L\lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L \implies \lim \frac{a_n}{b_n} = L
lim⁡n→∞12+⋯+n2n3=13\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+\cdots+n^2}{n^3} = \frac{1}{3}

예제

수열 (an)(a_n)이 an→La_n \to L로 수렴하면, 그 체자로 평균 a1+⋯+ann\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}도 LL로 수렴함을 체자로 정리를 써서 증명하세요 (bn=nb_n = n으로 두세요).

lim⁡n→∞a1+⋯+ann=L\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} = L
n=100n=100: 이 장면의 예시에서 차분 비율 r100≈0.3367r_{100} \approx 0.3367이 먼저 13\frac{1}{3}에 다가가고 전체 비율 s100≈0.3384s_{100} \approx 0.3384가 뒤따릅니다. 체자로 평균은 bn=nb_n = n인 특별 경우로, 차분 비율이 an+1a_{n+1} 자체가 됩니다.
증명 보기
  1. 부분합 cn=a1+⋯+anc_n = a_1+\cdots+a_n과 bn=nb_n = n을 둡시다. (bn)(b_n)은 엄격히 증가하고 무한대로 발산하므로 체자로 정리의 가정을 만족합니다.
  2. 차분 비율은 cn+1−cnbn+1−bn=an+11=an+1→L\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{a_{n+1}}{1} = a_{n+1} \to L입니다. 따라서 체자로 정리에서 cnbn=a1+⋯+ann→L\frac{c_n}{b_n} = \frac{a_1+\cdots+a_n}{n} \to L을 얻습니다.

체자로 정리를 써서 lim⁡n→∞12+22+⋯+n2n3=13\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3} = \frac{1}{3}임을 증명하세요.

lim⁡n→∞12+22+⋯+n2n3=13\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3} = \frac{1}{3}
n=200n=200: r200≈0.3350r_{200} \approx 0.3350, s200≈0.3358s_{200} \approx 0.3358 — 두 비율이 모두 13\frac{1}{3}에 거의 닿았습니다.
증명 보기
  1. an=12+⋯+n2a_n = 1^2+\cdots+n^2, bn=n3b_n = n^3이라 둡니다. (bn)(b_n)은 n≥1n \ge 1에서 엄격히 증가하고 무한대로 발산합니다.
  2. an+1−an=(n+1)2a_{n+1}-a_n = (n+1)^2, bn+1−bn=(n+1)3−n3=3n2+3n+1b_{n+1}-b_n = (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1이므로 차분 비율은 (n+1)23n2+3n+1=1+2/n+1/n23+3/n+1/n2→13\frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1} = \frac{1+2/n+1/n^2}{3+3/n+1/n^2} \to \frac{1}{3}입니다.
  3. 체자로 정리에 의해 anbn=12+⋯+n2n3→13\frac{a_n}{b_n} = \frac{1^2+\cdots+n^2}{n^3} \to \frac{1}{3}입니다.

1+3+5+⋯+(2n−1)1+3+5+\cdots+(2n-1)은 처음 nn개 홀수의 합입니다. 체자로 정리를 써서 lim⁡n→∞1+3+⋯+(2n−1)n2=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+3+\cdots+(2n-1)}{n^2} = 1임을 증명하세요.

∑k=1n(2k−1)=n2,lim⁡n→∞1+3+⋯+(2n−1)n2=1\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1+3+\cdots+(2n-1)}{n^2} = 1
n=60n=60: 이 장면의 예시에서 r60≈0.3389r_{60} \approx 0.3389, s60≈0.3417s_{60} \approx 0.3417 — 홀수합 문제도 같은 기계장치로 풀립니다 (bn=n2b_n = n^2, 차분 비율이 정확히 11).
증명 보기
  1. an=1+3+⋯+(2n−1)a_n = 1+3+\cdots+(2n-1)이라 두면 수학적 귀납법으로 an=n2a_n = n^2입니다: n=1n=1일 때 1=121 = 1^2이고, an=n2a_n = n^2이면 an+1=n2+(2n+1)=(n+1)2a_{n+1} = n^2+(2n+1) = (n+1)^2입니다. bn=n2b_n = n^2은 엄격히 증가하고 무한대로 발산합니다.
  2. an+1−an=2n+1a_{n+1}-a_n = 2n+1, bn+1−bn=(n+1)2−n2=2n+1b_{n+1}-b_n = (n+1)^2-n^2 = 2n+1이므로 차분 비율은 모든 nn에서 2n+12n+1=1\frac{2n+1}{2n+1} = 1로, 극한도 11입니다.
  3. 체자로 정리에 의해 anbn→1\frac{a_n}{b_n} \to 1 — 사실 an=bna_n = b_n이므로 모든 nn에서 비율이 정확히 11입니다.

2. 수열