합성곱 | Real Analysis

한 함수를 뒤집어 밀면서 다른 함수와 겹치는 양을 재는 연산입니다. 지시함수 두 개를 겹치면 겹침의 길이가 텐트 모양 곡선이 됩니다. 매끄러운 핵과 합성곱하면 계단처럼 각진 함수도 부드러워집니다. 핵이 좁아질수록 부드러워진 함수는 원래 함수에 가까워집니다. 예를 들면, 📷 사진의 한 픽셀을 주변 픽셀들의 가중 평균으로 바꾸는 흐림 효과와 같아요. 가운데 픽셀에 가장 큰 가중치를 주는 거예요.

예제

합성곱은 교환법칙을 만족함을 증명하세요: 적분 가능한 함수 $f, g$ 에 대해 모든 $x$ 에서 $(f * g)(x) = (g * f)(x)$ 입니다. 치환 $u = x - t$ 를 쓰고, 적분 구간의 방향이 뒤집히는 단계와 부호가 상쇄되는 단계를 명시하세요.

(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, g(x - t)\, dt

f, g \in L^1(\mathbb{R}), \qquad \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)\, g(x - t)|\, dt < \infty

텐트 모드,

x = 0.7

(f * g)(0.7) = 0.7

-- 여기서

f = g

라 교환이 자명해 보이지만, 아래 증명은 모든 적분 가능한 쌍에 대해 성립합니다.

증명 보기

가정: $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ 이고, 고정된 $x$ 에 대해 곱의 적분이 절대수렴합니다 (display 둘째 줄). 이 조건에서 아래 치환은 정당합니다. 정의에서 출발합니다: $(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, g(x - t)\, dt$ .
치환 $u = x - t$ 를 적용합니다. 그러면 $t = x - u$ 이고 $dt = -du$ 입니다. 구간의 끝점은 $t \to -\infty$ 일 때 $u \to +\infty$ 이고, $t \to +\infty$ 일 때 $u \to -\infty$ 입니다 -- 즉 $t: -\infty \to \infty$ 는 $u: \infty \to -\infty$ 로 대응합니다. 대입하면 $(f * g)(x) = \int_{+\infty}^{-\infty} f(x - u)\, g(u)\, (-du)$ 입니다.
이제 두 가지 부호가 상쇄됩니다: $du$ 앞의 $-1$ 은 적분 구간을 뒤집는 것 ( $\int_{+\infty}^{-\infty} = -\int_{-\infty}^{+\infty}$ )과 정확히 하나씩 짝을 이룹니다. 따라서 $(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - u)\, g(u)\, du$ 입니다.
오른쪽은 정의 그대로 $(g * f)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\, f(x - u)\, du$ 입니다 (더미 변수 이름만 $u$ 입니다). 따라서 $(f * g)(x) = (g * f)(x)$ 이며, $x$ 는 임의였으므로 $f * g = g * f$ 입니다.

$f = g = \mathbf{1}_{[0,1]}$ 일 때 $(f * g)(x)$ 를 모든 실수 $x$ 에 대해 구하세요. 답은 텐트 함수여야 합니다: $[0,1]$ 에서 $x$ , $[1,2]$ 에서 $2 - x$ , 그 밖에서는 $0$ -- 씬의 흔적과 일치합니다.

(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{1}_{[0,1]}(t)\, \mathbf{1}_{[0,1]}(x - t)\, dt = \text{length of } [0,1] \cap [x-1, x]

텐트 모드,

x = 1.4

: 겹침은

[0.4, 1]

이고

(f * g)(1.4) = 2 - 1.4 = 0.6

입니다 -- 아래 경우 나누기의 내리막 구간입니다.

증명 보기

곱 $\mathbf{1}_{[0,1]}(t)\, \mathbf{1}_{[0,1]}(x - t)$ 는 두 조건이 동시에 성립할 때만 $1$ 입니다: $0 \le t \le 1$ 이고 $0 \le x - t \le 1$ . 둘째 조건은 $x - 1 \le t \le x$ 와 동치입니다. 따라서 적분은 집합 $\{t : 0 \le t \le 1,\ x - 1 \le t \le x\} = [0,1] \cap [x-1, x]$ 의 길이와 같습니다.
교집합의 끝점은 $\max(0, x-1)$ 과 $\min(1, x)$ 입니다. 비교는 $x - 1 \le 0 \iff x \le 1$ 과 $x \le 1$ 자체로 갈립니다: $x \le 1$ 이면 $\max(0, x-1) = 0$ 이고 $\min(1, x) = x$ (단 $x \ge 0$ 일 때)이며, $x \ge 1$ 이면 $\max(0, x-1) = x-1$ 이고 $\min(1, x) = 1$ 입니다. 이 비교가 아래 경우 나누기를 정당화합니다.
경우 1, $x < 0$ 또는 $x > 2$ : $x < 0$ 이면 $\min(1, x) = x < 0 \le \max(0, x-1)$ 이라 교집합이 비어 있고, $x > 2$ 이면 $\max(0, x-1) = x - 1 > 1 \ge \min(1, x)$ 라 역시 비어 있습니다. 두 경우 모두 $(f * g)(x) = 0$ 입니다. 경우 2, $0 \le x \le 1$ : 교집합은 $[0, x]$ 이고 길이는 $x$ 입니다.
경우 3, $1 \le x \le 2$ : 교집합은 $[x-1, 1]$ 이고 길이는 $1 - (x - 1) = 2 - x$ 입니다. 정리하면 $(f * g)(x)$ 는 $0$ (밖), $x$ ( $[0,1]$ ), $2 - x$ ( $[1,2]$ )인 텐트 함수이며, $x = 1$ 에서 꼭짓점 값 $1$ 을 갖습니다 -- 씬에 그려진 흔적과 정확히 같습니다.

$\varphi \ge 0$ , $\operatorname{supp} \varphi \subseteq [-1,1]$ , $\int \varphi = 1$ 이고 $\varphi_{\varepsilon}(t) = \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon)$ 라 하세요. 유계 함수 $f$ ( $\|f\|_{\infty} = M$ )가 $x_0$ 에서 연속이면, $\varepsilon \to 0^+$ 일 때 $(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) \to f(x_0)$ 임을 증명하세요. 씬의 텐트 핵 $\varphi(t) = \max(0, 1 - |t|)$ 이 가정을 만족함을 확인하는 것부터 시작하세요.

\varphi_{\varepsilon}(t) = \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon), \qquad \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{\varepsilon} = 1, \qquad \operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon]

(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0) = \int_{-\infty}^{\infty} [f(x_0 - t) - f(x_0)]\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt

부드럽게 모드,

x = 0.05

\varepsilon = 0.1

v = x/\varepsilon = 0.5

라

(f * \varphi_{\varepsilon})(0.05) = 1 - (1 - 0.5)^2/2 = 0.875

입니다 --

\varepsilon \to 0

이면

f(0.05) = 1

로 다가갑니다.

증명 보기

텐트 핵 확인: $\varphi(t) = \max(0, 1 - |t|)$ 는 음이 아니고, $[-1,1]$ 밖에서는 $0$ 이며, $\int \varphi$ 는 밑변 $2$ , 높이 $1$ 인 삼각형의 넓이 $= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ 입니다. 따라서 텐트 핵은 가정 $\varphi \ge 0$ , $\operatorname{supp} \varphi \subseteq [-1,1]$ , $\int \varphi = 1$ 을 모두 만족합니다.
스케일 불변성: $\int \varphi_{\varepsilon} = 1$ 입니다. 치환 $s = t/\varepsilon$ ( $dt = \varepsilon\, ds$ )를 쓰면 $\int \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon)\, dt = \int \varphi(s)\, ds = 1$ 입니다. 같은 치환으로 $\operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon]$ 도 얻습니다: $\varphi_{\varepsilon}(t) \ne 0$ 이려면 $|t/\varepsilon| \le 1$ , 즉 $|t| \le \varepsilon$ 이어야 합니다. 또 $|f| \le M$ 이고 $\varphi_{\varepsilon} \in L^1$ 이라 합성곱은 잘 정의됩니다.
오차 항등식: $f(x_0) = \int f(x_0)\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt$ (질량이 $1$ 이라 $f(x_0) \cdot 1$ )이므로, 빼면 $(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0) = \int [f(x_0 - t) - f(x_0)]\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt$ 입니다. 절댓값을 안으로 넣고 $\varphi_{\varepsilon} \ge 0$ 을 쓰면 $|(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0)| \le \int |f(x_0 - t) - f(x_0)|\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt$ 입니다.
$\eta > 0$ 이 주어졌다고 하세요. $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이므로, $|t| < \delta$ 일 때 $|f(x_0 - t) - f(x_0)| < \eta/2$ 인 $\delta > 0$ 이 있습니다. 이제 $\varepsilon < \delta$ 인 모든 $\varepsilon$ 를 잡으세요.
마무리: $\operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon] \subseteq [-\delta, \delta]$ 이므로 오차 적분 전체가 $|t| < \delta$ 구간에서만 살아 있고, 거기서는 인자 $|f(x_0 - t) - f(x_0)|$ 가 $\eta/2$ 보다 작습니다. 따라서 오차는 $(\eta/2) \int \varphi_{\varepsilon} = \eta/2 < \eta$ 이하입니다. $\eta$ 는 임의였으므로 $(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) \to f(x_0)$ ( $\varepsilon \to 0^+$ )입니다. 일반적인 근사 항등원과 달리 꼬리 항이 없는 이유는 지지집합이 $[-\varepsilon, \varepsilon]$ 로 줄어들기 때문입니다.