에고로프 정리

$f_n(x) = 1_{[1/(n+1),\,1/n]}(x)$ ( $0 \le x \le 1$ )라 하세요. $0 < \delta \le 1$ 에 대해 나쁜 집합 $E_{n,\delta} = \{x : \text{어떤 } k \ge n\text{에 대해 } |f_k(x)| \ge \delta\}$ 가 $(0, 1/n]$ 과 같음을 보이고, $\varepsilon > 0$ 마다 $n > 1/\varepsilon$ 을 택하면 $m(E_{n,\delta}) < \varepsilon$ 이면서 $f_k \to 0$ 이 $[1/n, 1]$ 에서 균등함을 완전히 증명하세요 — 이 수열에 대한 에고로프 정리입니다.

E_{n,\delta} = \bigcup_{k \ge n}\left[\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}\right] = \left(0, \frac{1}{n}\right], \quad m(E_{n,\delta}) = \frac{1}{n}

\sup_{x \in [1/n,\,1]} |f_k(x)| = 0 \quad (k \ge n+1)

\delta = 0.5

,

n = 6

: 나쁜 집합

(0, \frac16]

의 측도는

\frac16 \approx 0.1667

. 좋은 집합

[\frac16, 1]

위에서는

k \ge 7

일 때

f_k \equiv 0

— 균등수렴이 눈에 보입니다.

증명 보기

$0 < \delta \le 1$ 이므로 $|f_k(x)| \ge \delta$ 는 $f_k(x) = 1$ 과 동치이고, 이는 $x \in [\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$ 와 동치입니다. 따라서 $E_{n,\delta} = \bigcup_{k \ge n} [\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$ 입니다. $x$ 가 이 합집합에 속하면 어떤 $k \ge n$ 에 대해 $0 < x \le \frac{1}{k} \le \frac{1}{n}$ 이므로 $x \in (0, \frac{1}{n}]$ 입니다. 역으로 $0 < x \le \frac{1}{n}$ 이면 구간들 $(\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$ 이 $(0, 1]$ 을 분할하므로 $x$ 를 품은 $k$ 가 하나 있고, $\frac{1}{k+1} < x \le \frac{1}{n}$ 에서 $k + 1 > n$ , 즉 $k \ge n$ 입니다. ( $x = 0$ 에서는 모든 $f_k$ 가 0이므로 나쁜 집합에 들어가지 않습니다.) 따라서 $E_{n,\delta} = (0, \frac{1}{n}]$ 이고 측도는 $\frac{1}{n}$ 입니다.
$\varepsilon > 0$ 가 주어지면 $n > 1/\varepsilon$ 인 $n$ 을 택합니다 (예: $n = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$ ). 그러면 $m(E_{n,\delta}) = 1/n < \varepsilon$ 입니다 — 나쁜 집합을 임의로 작게 만들 수 있습니다.
이제 $F = [\frac{1}{n}, 1]$ 위에서 균등수렴을 확인합니다. $k \ge n+1$ 이고 $x \ge \frac{1}{n}$ 이면 $x \ge \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{k}$ 이므로 $x$ 는 혹 $[\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$ 의 오른쪽 끝점보다도 큽니다 — 즉 $f_k(x) = 0$ 입니다. 따라서 모든 $k \ge n+1$ 에 대해 $\sup_{x \in F} |f_k(x)| = 0$ 이고, $f_k \to 0$ 이 $F$ 에서 균등합니다 (단 하나의 항 $f_n$ 이 점 $\frac{1}{n}$ 에서 1이지만, 꼬리에는 영향을 주지 않습니다).
정리하면: $f_n \to 0$ 은 $[0, 1]$ 전체에서 점별로 성립하지만 ( $[0,1]$ 에서 $\sup f_n = 1$ 이므로 균등하지는 않습니다), 측도가 $\varepsilon$ 보다 작은 나쁜 집합 $(0, \frac{1}{n}]$ 하나만 도려내면 나머지는 균등수렴이 됩니다. 이것이 바로 이 수열에 대한 에고로프 정리이며, 씬에서 $n$ 을 키우면 빨간 영역이 $\frac{1}{n}$ 속도로 쪼그라드는 모습으로 확인됩니다.

$\delta \le 1$ 을 고정하고 나쁜 집합 $B_n = E_{n,\delta}$ 라 하세요. $B_{n+1} \subseteq B_n$ 인 감소수열이며 $m(B_n) = 1/n \to 0$ 임을, 유한 측도에서의 "위에서의 측도 연속성" ( $m(A_n) \downarrow m(\bigcap_n A_n)$ )을 직접 증명하여 보이세요.

B_{n+1} = \left(0, \frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left(0, \frac{1}{n}\right] = B_n

m(A_1) = m\!\left(\bigcap_n A_n\right) + \sum_{k \ge 1}\big(m(A_k) - m(A_{k+1})\big)

\delta = 0.5

,

n = 12

:

B_{12} = (0, \frac{1}{12}]

, 측도

\frac{1}{12} \approx 0.0833

—

B_6 = (0, \frac16]

안에 완전히 들어갑니다.

증명 보기

문제 1에서 $B_n = (0, \frac{1}{n}]$ 이므로 $B_{n+1} = (0, \frac{1}{n+1}] \subseteq (0, \frac{1}{n}] = B_n$ 이 자명합니다 (정의에서 직접 봐도 됩니다: $k \ge n+1$ 에 대한 합집합은 $k \ge n$ 에 대한 합집합에 포함됩니다). 따라서 $\{B_n\}$ 은 감소수열이고 $m(B_1) = 1 < \infty$ 입니다.
이제 위에서의 측도 연속성을 직접 증명합니다. $A_n$ 이 감소수열이고 $m(A_1) < \infty$ 이라 하세요. $A_1$ 을 서로 겹치지 않는 조각들로 분해합니다: $A_1 = \left(\bigcap_n A_n\right) \sqcup \bigsqcup_{k \ge 1} (A_k \setminus A_{k+1})$ . 가산 가법성에 의해 $m(A_1) = m(\bigcap_n A_n) + \sum_{k \ge 1} \big(m(A_k) - m(A_{k+1})\big)$ 입니다 (차집합의 측도가 뺄셈이 되려면 $m(A_{k+1}) \le m(A_1) < \infty$ 이 필요합니다). 부분합은 $\sum_{k=1}^{N} \big(m(A_k) - m(A_{k+1})\big) = m(A_1) - m(A_{N+1})$ 로 상쇄(telescoping)되고, $m(A_1)$ 을 상계로 가지므로 급수가 수렴합니다. 따라서 $m(A_1) = m(\bigcap_n A_n) + m(A_1) - \lim_{N \to \infty} m(A_N)$ , 즉 $\lim_{N \to \infty} m(A_N) = m(\bigcap_n A_n)$ 입니다 — 여기서 유한성 $m(A_1) < \infty$ 이 양변에서 $m(A_1)$ 을 빼는 데 쓰였습니다.
$B_n$ 에 적용합니다: $\bigcap_n B_n = \varnothing$ 입니다. 실제로 $x$ 가 모든 $B_n$ 에 속하면 $0 < x \le \frac{1}{n}$ 이 모든 $n$ 에 대해 성립하므로 $x = 0$ 이어야 하는데, 이는 $x > 0$ 과 모순입니다. 따라서 $m(B_n) \to m(\varnothing) = 0$ — 직접 계산한 $m(B_n) = 1/n$ 과 일치합니다. 나쁜 집합들이 "교집합이 비게" 쪼그라들 수 있는 것은 전체 측도가 유한하기 때문이며, 이것이 에고로프 정리의 심장입니다.

$f_n = 1_{[n,\,n+1]}$ ( $\mathbb{R}$ 위의 함수)라 하세요. $f_n \to 0$ 이 균등한 모든 집합 $F \subseteq \mathbb{R}$ 에 대해 $m(\mathbb{R} \setminus F) = \infty$ 임을 증명하세요 — 유한 측도 조건이 왜 필수적인지 보여주는 반례입니다.

\sup_{x \in F}|f_n(x)| < \tfrac12 \;(n \ge N) \;\Rightarrow\; F \cap [n, n+1] = \varnothing

[N, \infty) \subseteq \mathbb{R}\setminus F \;\Rightarrow\; m(\mathbb{R}\setminus F) = \infty

이 문제는 씬의 수열이 아닌

\mathbb{R}

위의 "도망치는 혹"

1_{[n,\,n+1]}

에 대한 것입니다 — 프리셋은 씬 기본값

\delta = 0.5

,

n = 6

.

증명 보기

먼저 각 점 $x$ 를 고정하면 $n > x$ 일 때 $f_n(x) = 0$ 이므로 $f_n \to 0$ 이 $\mathbb{R}$ 전체에서 점별로 성립합니다. 그러나 어떤 유한 측도 집합을 도려내도 균등수렴을 되찾을 수 없음을 보입니다.
$f_n \to 0$ 이 $F \subseteq \mathbb{R}$ 에서 균등하다고 가정하세요. 그러면 어떤 $N$ 이 있어 모든 $n \ge N$ 에 대해 $\sup_{x \in F} |f_n(x)| < \frac{1}{2}$ 입니다. 그런데 $f_n$ 은 값으로 $0$ 과 $1$ 만 가지므로, 상한이 $\frac{1}{2}$ 보다 작다는 것은 $F$ 위에서 $f_n \equiv 0$ 이라는 뜻입니다 — 즉 모든 $n \ge N$ 에 대해 $F \cap [n, n+1] = \varnothing$ 입니다 (그렇지 않으면 그 점에서 $f_n = 1$ 이 되어 상한이 1이 됩니다).
따라서 $[N, \infty) = \bigcup_{n \ge N} [n, n+1] \subseteq \mathbb{R} \setminus F$ 이고, $m(\mathbb{R} \setminus F) \ge m([N, \infty)) = \infty$ 입니다. 균등수렴하는 집합은 혹들을 유한 개를 제외하고 전부 놓쳐야 하므로, 버려야 하는 집합의 측도는 무조건 무한대입니다 — 에고로프 정리에서 $m(X) < \infty$ 조건을 뺄 수 없는 이유입니다. 씬의 수열과 대조해 보세요: 거기서는 혹이 0 한 점으로 모여들어, 그 점 근처만 도려내면 되었습니다.

예제