10. 적분

리만 적분에서 르베그 적분까지 — 적분의 개념이 어떻게 확장되는지 따라갑니다.

• 감마함수 — 팩토리얼을 실수로 늘인 함수 — $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$라서 $\Gamma(n+1) = n!$입니다. $x > 0$에서 이상적분이 수렴함을 확인합니다.
• 베타 함수 — \t^{p-1}(1-t)^{q-1}\ 곡선 아래 넓이가 베타 함수 — \p\, \q\ 슬라이더로 모양이 바뀌는 모습을 보세요. 감마함수와의 관계 \B(p,q) = \\Gamma(p)\\Gamma(q)/\\Gamma(p+q)\도 함께 다룹니다.
• 보어-몰레루프 정리 — $f(1) = 1$과 $f(x+1) = x\,f(x)$만으로는 팩토리얼의 연속 확장이 하나로 정해지지 않습니다 — impostor $\Gamma(x)(1 + a\sin 2\pi x)$가 모든 정수점에서 $\Gamma$와 완전히 일치하면서도 살아남기 때문입니다. secant 테스트로 로그볼록성이 $\Gamma$의 진짜 지문임을 직접 확인하세요.
• 이상적분 — $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$는 $p > 1$일 때만 수렴하고, $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$처럼 특이점 쪽도 다룹니다 — p급수와의 쌍대 장면.
• 리만합 스퀴즈 — $f(x) = x^2$ 아래에 직사각형을 채워봅니다. 아래합과 위합이 $\frac{1}{3}$을 양쪽에서 조여옵니다.
• Volterra 함수 — 어디서나 미분가능하고 도함수가 유계인데, 그 도함수는 리만 적분 불가능 — 팻 칸토어 집합 위에 올린 $(x-a)^2(b-x)^2\sin\frac{1}{x-a}$형 혹들의 합이 만드는 전설적인 반례입니다.
• 미적분 기본정리 — 넓이함수 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$의 기울기를 재보면 $f(x)$와 일치합니다. $x$를 움직여보세요.
• 유계변동 함수 — 분할을 잘게 쪼갤 때 $\sum \lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert$이 유한한 상한 안에 머무르면 유계변동 — 단조함수는 전부 해당하고, $x\sin(1/x)$처럼 0 근처에서 끝없이 출렁이면 탈락합니다.
• 조르당 분해 — 유계변동 함수는 두 단조증가 함수의 차입니다 — $f = g - h$, 여기서 $g(x) = V_0^x(f)$는 변동함수. $x^2\sin\frac{1}{x}$ 위에서 점을 움직이며 분해가 점마다 성립하는 것을 확인하세요.
• 르베그 측도 — 외측도는 집합을 덮는 가산 구간 덮개 중 가장 싼 값입니다. 한 점은 물론 유리수 전체도 비용이 0으로 떨어집니다. 가측집합과 가산 가법성은 Carathéodory 구성 너머의 이야기입니다 (아이디어 수준).
• 디리클레 vs 르벡 — 유리수를 $\varepsilon/2^k$ 덮개로 하나씩 덮으면 총길이가 $\varepsilon$ 아래로 떨어집니다. 리만은 꼼짝 못 합니다.
• 절대연속성 — $F(x) = x^2$는 절대연속 — 구간들의 총 길이가 0으로 가면 $\sum |\Delta F|$도 0으로 갑니다. 칸토어 함수는 균등연속이지만 절대연속이 아닙니다: 총 길이 $\left(\frac23\right)^n \to 0$인데 $\sum |\Delta c| = 1$에 고정됩니다. 절대연속인 함수는 정확히 Lebesgue 적분 가능한 함수의 부정적분입니다.