곡선의 길이

$C^1$ 곡선에 대한 길이 공식 $L = \int |\gamma'(t)|\,dt$ 를 써서, $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ ( $t \in [\alpha, \beta]$ )의 길이가 $L = R(\beta - \alpha)$ 임을 완전히 보이세요. 그런 다음 $R = 1$ , $[\alpha, \beta] = [0, \pi/2]$ 인 경우와 온전한 원의 경우를 구하세요.

\gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t), \qquad |\gamma'(t)| = R

L = \int_\alpha^\beta |\gamma'(t)|\,dt = R(\beta - \alpha)

사분원,

n = 16

: 꺾은선 길이

L_{16} \approx 1.570166

이 정확한 값

\pi/2 \approx 1.570796

아래에서 다가갑니다 — 아래 공식이 그 정확한 값을 줍니다.

증명 보기

성분별로 미분합니다: $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ 이므로 $\gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ 입니다. $\gamma$ 는 $C^1$ 곡선이므로 길이 공식 $L = \int_\alpha^\beta |\gamma'(t)|\,dt$ 를 적용할 수 있습니다.
속력(speed)은 상수입니다: $|\gamma'(t)| = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = \sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t} = R\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = R$ (단, $R > 0$ ). 피타고라스 항등식 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 이 각도 의존성을 정확히 지워 줍니다.
적분하면 $L = \int_\alpha^\beta |\gamma'(t)|\,dt = \int_\alpha^\beta R\,dt = R(\beta - \alpha)$ 입니다. 즉 원호의 길이는 반지름에 중심각을 곱한 값입니다.
특수화: $R = 1$ 이고 $[\alpha, \beta] = [0, \pi/2]$ 이면 $L = 1 \cdot (\pi/2 - 0) = \pi/2$ — 씬의 사분원과 일치합니다. 온전한 원 $[\alpha, \beta] = [0, 2\pi]$ 이면 $L = R \cdot 2\pi = 2\pi R$ , 익숙한 둘레 공식입니다.

분할을 세분화하면 꺾은선 길이가 절대 줄어들지 않음을 완전히 증명하세요: $P'$ 이 $P$ 의 세분이면 $L(P) \le L(P')$ 입니다. 이로부터 모든 $P$ 에 대해 $L(P) \le L := \sup_P L(P)$ 이고, 이분 세분(dyadic refinement) 값들이 증가하면서 $L$ 아래에 머묾을 보이세요.

|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \le |\gamma(t_i) - \gamma(s)| + |\gamma(s) - \gamma(t_{i-1})|

P \subseteq P' \implies L(P) \le L(P') \le L = \sup_P L(P)

포물선,

n = 4

: 모델 값

L_4 \approx 1.474280

< L_8 \approx 1.477778

< L \approx 1.478943

— 세분이 길이를 키우는 모습이 수치로도 보입니다.

증명 보기

먼저 점 하나만 삽입합니다. 구간 $[t_{i-1}, t_i]$ 안에 $s$ ( $t_{i-1} < s < t_i$ )를 넣으면, 그 구간의 기여도는 $|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})|$ 에서 $|\gamma(t_i) - \gamma(s)| + |\gamma(s) - \gamma(t_{i-1})|$ 로 바뀝니다. 다른 구간의 기여도는 그대로입니다.
$\mathbb{R}^2$ 의 삼각부등식 $|u + v| \le |u| + |v|$ 를 $u = \gamma(t_i) - \gamma(s)$ , $v = \gamma(s) - \gamma(t_{i-1})$ 에 적용합니다. 그러면 $u + v = \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})$ 이므로 $|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \le |\gamma(t_i) - \gamma(s)| + |\gamma(s) - \gamma(t_{i-1})|$ 입니다. 즉 새 기여도가 원래 기여도 이상이므로, 점 하나를 삽입해도 꺾은선 길이는 줄어들지 않습니다. 곧은 한 조각이 꺾인 두 조각보다 길 수 없기 때문입니다.
유한히 많은 점의 삽입에 대한 귀납법으로 일반화합니다. $P'$ 이 $P$ 의 세분이면 $P' \setminus P$ 의 점들을 하나씩 삽입해 $P$ 에서 $P'$ 에 도달할 수 있고, 각 단계마다 길이가 줄어들지 않으므로 $L(P) \le L(P')$ 입니다.
따라서 모든 분할 값은 상한 아래에 있습니다: 모든 $P$ 에 대해 $L(P) \le L := \sup_P L(P)$ 입니다 (상한의 정의 그 자체). 특히 균등 분할을 거듭 반으로 나누는 이분 세분에서는 삽입되는 점이 정확히 중간점들이므로 $L_n \le L_{2n} \le L_{4n} \le \cdots \le L$ 인 증가 수열이 됩니다. 씬의 $L_4 \approx 1.474280 < L_8 \approx 1.477778$ 이 이 단조성의 한 단면입니다.

$(0, 1]$ 에서 $f(x) = x\sin(1/x)$ , $f(0) = 0$ 이라 두세요. $f$ 는 $[0, 1]$ 에서 연속이지만, 그 그래프의 길이는 무한대임을 완전히 증명하세요 — 즉 이 그래프는 길이를 잴 수 없습니다 (not rectifiable). 점들 $t_k = \frac{2}{\pi(2k+1)}$ ( $k = 0, 1, \dots, K$ )를 쓰세요.

t_k = \frac{2}{\pi(2k+1)}, \qquad f(t_k) = (-1)^k t_k

L \ge \sum_{k=0}^{K-1} (t_k + t_{k+1}) \ge \frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{k+1} \to \infty

씬의 매끄러운 곡선들(원호와 포물선)은 모두 길이를 잴 수 있습니다 — 이 문제의

x\sin(1/x)

그래프와 대조해 보세요. 그 그래프는 연속인데도 길이가 무한대입니다.

증명 보기

점들을 계산합니다. $t_k = \frac{2}{\pi(2k+1)}$ 이면 $1/t_k = \pi(2k+1)/2 = \pi k + \pi/2$ 이므로 $\sin(1/t_k) = \sin(\pi k + \pi/2) = (-1)^k$ 이고, 따라서 $f(t_k) = t_k \sin(1/t_k) = (-1)^k t_k$ 입니다. 순서에 주의하세요: $k$ 가 커질수록 $t_k$ 는 작아지므로 $t_K < t_{K-1} < \cdots < t_0 = 2/\pi < 1$ 입니다. 분할에서는 이 점들을 증가하는 순서 $t_K < \cdots < t_0$ 로 넣고, 필요하면 $0$ 과 $1$ 도 더합니다 (점을 더하면 꺾은선 길이는 앞 문제에 의해 줄어들지 않습니다).
연속된 두 값은 부호가 반대입니다: $f(t_k) = (-1)^k t_k$ 와 $f(t_{k+1}) = (-1)^{k+1} t_{k+1}$ 이므로 $|f(t_k) - f(t_{k+1})| = t_k + t_{k+1} \ge t_k$ 입니다. $[t_{k+1}, t_k]$ 위의 꺾은선 조각의 길이는 $\sqrt{(t_k - t_{k+1})^2 + (f(t_k) - f(t_{k+1}))^2} \ge |f(t_k) - f(t_{k+1})|$ 입니다 — 수직 낙차가 그 조각 길이의 하한이기 때문입니다.
$k = 0, \dots, K-1$ 에 대해 합산하면 $L \ge \sum_{k=0}^{K-1} (t_k + t_{k+1}) \ge \sum_{k=0}^{K-1} t_k = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{2}{\pi(2k+1)}$ 입니다. 여기서 $\frac{2}{2k+1} \ge \frac{1}{k+1}$ 입니다 — 양변을 비교하면 $2k + 2 \ge 2k + 1$ 이기 때문입니다. 따라서 $L \ge \frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{\pi} H_K$ 입니다.
조화합 $H_K = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{k+1}$ 은 $K \to \infty$ 일 때 발산합니다 (조화급수의 발산). $K$ 는 임의로 크게 잡을 수 있으므로, 어떤 유한한 수 $M$ 에 대해서도 $L \ge \frac{1}{\pi} H_K > M$ 인 분할이 존재합니다. 즉 $L = \sup_P L(P) = +\infty$ 입니다: 이 그래프는 길이를 잴 수 없습니다. 그런데 $f$ 는 $[0, 1]$ 에서 연속입니다 — $(0, 1]$ 에서는 연속함수들의 곱이고, $0$ 에서는 $|f(x)| \le x \to 0 = f(0)$ 이기 때문입니다. 연속성만으로는 유한한 길이가 보장되지 않습니다.

예제