유계변동 함수

구간 $[a, b]$ 에서 단조인 모든 함수 $f$ 가 유계변분이며 $V_a^b(f) = |f(b) - f(a)|$ 임을 보이세요.

V_a^b(f) := \sup_P \sum_{i=1}^{m} \bigl|f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr|

\sum_{i=1}^{m} \bigl|f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr| = \sum_{i=1}^{m} \bigl(f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr) = f(b) - f(a) \quad (f \text{ increasing})

n = 40

:

f(x) = \sin(2\pi x)

는 단조가 아니지만

V_{40} \approx 3.9968

— 단조인 경우는 분할마다 망원경 합이 되어 변분이

|f(b) - f(a)|

하나로 고정됩니다.

증명 보기

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 증가한다고 하고, 임의의 분할 $P = \{x_0 < x_1 < \dots < x_m\}$ ( $[x_0, x_m] = [a, b]$ )를 잡습니다. 단조증가이므로 각 구간에서 $f(x_i) - f(x_{i-1}) \ge 0$ 이고, 절댓값이 풀려 $\sum_{i=1}^{m}|f(x_i) - f(x_{i-1})| = \sum_{i=1}^{m}(f(x_i) - f(x_{i-1}))$ 가 됩니다. 이는 망원경 합이므로 $f(b) - f(a)$ 와 같습니다.
$f$ 가 감소인 경우에도 마찬가지입니다: $f(x_i) - f(x_{i-1}) \le 0$ 이므로 $|f(x_i) - f(x_{i-1})| = f(x_{i-1}) - f(x_i)$ 가 되어 합은 $f(a) - f(b) = |f(b) - f(a)|$ 가 됩니다. 즉 단조함수에 대해서는 모든 분할이 똑같은 변분 $|f(b) - f(a)|$ 를 줍니다.
따라서 분할에 대한 상한(supremum)은 $|f(b) - f(a)| < \infty$ 이며, 이는 바로 $V_a^b(f) = |f(b) - f(a)|$ 를 뜻합니다 — 유계변분입니다. 칸토어 함수(극한과 연속 편의 씬)는 $[0, 1]$ 에서 증가하고 $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ 이므로 $V_0^1(c) = 1$ 입니다.

조던 분해 정리: $f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계변분이기 위한 필요충분조건은 $f = g - h$ (단, $g, h$ 는 $[a, b]$ 에서 증가하는 함수)로 쓸 수 있는 것입니다. 힌트: $v(x) := V_a^x(f)$ 라 두세요.

v(x) := V_a^x(f), \qquad f = \frac{v + f}{2} - \frac{v - f}{2}

V_x^y(f) \ge \pm\bigl(f(y) - f(x)\bigr) \quad (a \le x < y \le b)

n = 80

:

V_{80} \approx 3.9992

— 누적 변분

v(x) = V_0^x(\sin 2\pi\,\cdot)

자체가 단조증가하므로,

f = \frac{v+f}{2} - \frac{v-f}{2}

가 두 증가함수의 차가 됩니다.

증명 보기

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계변분이라 하고 $v(x) := V_a^x(f)$ ( $a \le x \le b$ )라 둡니다. 변분은 구간 덧셈성 $V_a^y(f) = V_a^x(f) + V_x^y(f)$ 를 가지므로 ( $a \le x < y \le b$ ), $v(y) - v(x) = V_x^y(f) \ge 0$ — 즉 $v$ 는 증가함수입니다.
핵심 부등식: 구간 $[x, y]$ 의 자명 분할 $\{x, y\}$ 는 상한을 잡는 분할들의 하나이므로, $V_x^y(f) \ge |f(y) - f(x)| \ge \pm(f(y) - f(x))$ 입니다. 따라서 $v(y) - v(x) \ge f(y) - f(x)$ 이면서 동시에 $v(y) - v(x) \ge -(f(y) - f(x))$ 입니다.
$g := \frac{v + f}{2}$ , $h := \frac{v - f}{2}$ 라 둡니다. 그러면 $g(y) - g(x) = \frac{1}{2}\bigl((v(y) - v(x)) + (f(y) - f(x))\bigr) \ge 0$ , $h(y) - h(x) = \frac{1}{2}\bigl((v(y) - v(x)) - (f(y) - f(x))\bigr) \ge 0$ 이므로 $g, h$ 는 모두 증가함수이고, $g - h = f$ 입니다.
역방향: $f = g - h$ ( $g, h$ 증가)라면 문제 1에 의해 $g, h$ 는 유계변분이고, 삼각부등식으로 $|f(x_i) - f(x_{i-1})| \le |g$ 의 차 $| + |h$ 의 차 $|$ 이므로 $V_P(f) \le V_P(g) + V_P(h) = (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a)) < \infty$ — 따라서 $f$ 는 유계변분입니다. 즉 $f$ 유계변분 $\iff$ $f = g - h$ (가법 상수까지 유일).

$f(0) = 0$ , $x > 0$ 에서 $f(x) = x\sin(1/x)$ 인 $f$ 가 $[0, 1]$ 에서 유계변분이 아님을 보이세요.

u_k = \frac{1}{2\pi k + \pi/2},\; f(u_k) = u_k, \qquad v_k = \frac{1}{2\pi k + 3\pi/2},\; f(v_k) = -v_k

V(f) \ge \sum_{k=1}^{N}(u_k + v_k) \ge \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2\pi k} = \frac{H_N}{2\pi} \longrightarrow \infty

n = 200

:

V_{200} \approx 2.1388

— 증명의 하한

\sum_{k=1}^{200}(u_k + v_k) \approx 1.6849 > 1

을 이미 넘어섰고,

H_N/(2\pi) \to \infty

이므로 변분은 어떤 상한 아래도 들어가지 않습니다.

증명 보기

$\sin(1/x) = 1$ 인 점 $u_k = \frac{1}{2\pi k + \pi/2}$ ( $f(u_k) = u_k$ )와 $\sin(1/x) = -1$ 인 점 $v_k = \frac{1}{2\pi k + 3\pi/2}$ ( $f(v_k) = -v_k$ )를 잡습니다. 분모를 비교하면 $0 < v_k < u_k < 1$ 이고, $u_{k+1} = \frac{1}{2\pi k + 5\pi/2} < v_k$ 이므로 점들은 $0 < v_N < u_N < \dots < v_1 < u_1 < 1$ 순으로 늘어섭니다.
분할 $P_N = \{0, v_N, u_N, \dots, v_1, u_1, 1\}$ 을 잡습니다. 구간 $[0, v_N]$ 과 $[u_1, 1]$ 의 기여는 음이 아니므로 버려도 되고, 각 쌍 $(v_k, u_k)$ 에서 $|f(u_k) - f(v_k)| = |u_k - (-v_k)| = u_k + v_k$ 이므로 $V_{P_N}(f) \ge \sum_{k=1}^{N}(u_k + v_k)$ 입니다.
이제 $u_k + v_k \ge 2v_k = \frac{2}{2\pi k + 3\pi/2} \ge \frac{1}{2\pi k}$ 를 확인합니다: 마지막 부등식은 $4\pi k \ge 2\pi k + 3\pi/2$ , 즉 $4k \ge 3$ ( $k \ge 1$ )과 동치입니다. 따라서 $V_{P_N}(f) \ge \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2\pi k} = \frac{H_N}{2\pi} \to \infty$ ( $N \to \infty$ ).
분할 변분이 발산하므로 $\sup_P V_P(f) = \infty$ : $f$ 는 $[0, 1]$ 에서 유계변분이 아닙니다. 수치 확인: $u_1 = \frac{1}{2.5\pi} \approx 0.12732$ , $v_1 = \frac{1}{3.5\pi} \approx 0.09095$ , $\sum_{k=1}^{200}(u_k + v_k) \approx 1.6849 > 1$ — 화면의 $V_{200} \approx 2.1388$ 이 이 하한을 이미 넘었습니다. (참고: $x^2\sin(1/x)$ 는 유계변분입니다 — $V \le 3$ 인 이유는 $\int_0^1 |f'| \le 2$ 때문입니다.)

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