리만-스틸체스 적분

$\alpha(x) = x$ 일 때 리만-스틸체스 상합·하합이 리만 상합·하합과 완전히 일치함을 보이고, 따라서 한쪽 적분이 존재하면 다른 쪽도 존재하며 두 값이 같음을 증명하세요.

\Delta\alpha_i = x_i - x_{i-1} = \Delta x_i \;\Rightarrow\; U(f, P, \alpha) = U(f, P)

\int_a^b f\,d\alpha = \int_a^b f\,dx \quad (\alpha(x) = x)

\alpha(x) = x

,

n = 6

: 위쪽과 아래쪽 패널이 똑같이 그려집니다 —

U = \frac{7}{12} \approx 0.5833

,

L = \frac{5}{12} \approx 0.4167

, 엄밀값

\frac12

.

증명 보기

$\alpha(x) = x$ 이면 $\Delta\alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1}) = x_i - x_{i-1} = \Delta x_i$ 입니다. 따라서 RS 상합 $U(f, P, \alpha) = \sum M_i\,\Delta\alpha_i$ 는 $\sum M_i\,\Delta x_i = U(f, P)$ 와 항별로 일치하고, 하합도 마찬가지입니다.
따라서 RS 상적분 $\overline{\int_a^b} f\,d\alpha = \inf_P U(f, P, \alpha)$ 는 리만 상적분 $\inf_P U(f, P)$ 와 같고, 하적분도 같습니다. $f$ 가 리만 적분 가능하면 상적분과 하적분이 일치하므로 RS 적분도 존재하고 $\int_a^b f\,d\alpha = \int_a^b f\,dx$ 입니다 — 역도 마찬가지입니다.
즉 $\alpha(x) = x$ 는 "무게를 재는 자"를 바꾸지 않는 선택입니다 — 씬에서 $\alpha$ 를 identity로 두면 아래쪽 $\alpha$ -패널이 위쪽 리만 패널과 완전히 겹치는 이유입니다.

$\alpha$ 가 $c$ 에서 크기 $J$ 의 점프 하나만 있고 그 외에는 상수이며, $f$ 가 $c$ 에서 연속이라고 하세요. 점프를 품은 구간을 조이는(squeeze) 논증으로 $\int_a^b f\,d\alpha = f(c)\,J$ 임을 완전히 증명하세요.

U(f, P, \alpha) = M_I J, \quad L(f, P, \alpha) = m_I J \;\Rightarrow\; \int_a^b f\,d\alpha = f(c)\,J

계단

\alpha

(

c = \frac12

,

J = 1

),

n = 6

: 0 너비 막대가 전부 사라지고 점프를 품은

[\frac26, \frac36]

하나만 남습니다 —

U = \frac12

,

L = \frac13

, 엄밀값

f(\frac12) \cdot 1 = \frac12

.

증명 보기

임의의 분할 $P$ 에 대해, $\Delta\alpha_i = 0$ 인 구간은 RS 합에 기여하지 않습니다. $c$ 가 분할점 $x_k$ 와 일치하든 구간 내부에 있든, $\Delta\alpha_i = J$ 인 구간은 정확히 하나 — $c$ 를 품은 $I = [x_{k-1}, x_k]$ 뿐입니다 (한쪽 끝에서만 $\alpha$ 값이 바뀌므로). 따라서 $U(f, P, \alpha) = M_I\,J$ , $L(f, P, \alpha) = m_I\,J$ 입니다. 여기서 $M_I, m_I$ 는 $I$ 위에서 $f$ 의 상한·하한입니다.
$f$ 가 $c$ 에서 연속이므로, $\varepsilon > 0$ 마다 $\delta > 0$ 가 있어 $|x - c| < \delta$ 이면 $|f(x) - f(c)| < \varepsilon/J$ 입니다. 분할의 그물(mesh)이 $\delta$ 보다 작으면 $I \subset (c - \delta, c + \delta)$ 이므로 $|M_I - f(c)| \le \varepsilon/J$ 이고 $|m_I - f(c)| \le \varepsilon/J$ 입니다. 따라서 $|U(f, P, \alpha) - f(c)J| \le \varepsilon$ 이고 $U - L = (M_I - m_I)J \le 2\varepsilon$ 입니다.
$\varepsilon$ 이 임의이므로 RS 상적분과 하적분이 모두 $f(c)J$ 로 수렴 — 적분이 존재하고 $\int_a^b f\,d\alpha = f(c)\,J$ 입니다. 점프는 적분을 "그 점에서의 함숫값 × 점프 크기"로 붕괴시킵니다: 씬의 계단 $\alpha$ 에서 $f(\frac12)\cdot 1 = \frac12$ 인 이유입니다.

$\alpha$ 가 $[a, b]$ 에서 $C^1$ 급이고 증가하며, $f$ 가 연속이라고 하세요. 평균값 정리를 이용해 $\Delta\alpha_i = \alpha'(\xi_i)\,\Delta x_i$ 라 쓰고, 균등연속성으로 $\xi_i$ 를 표본점으로 바꾸는 표준 논증을 완성하여 $\int_a^b f\,d\alpha = \int_a^b f(x)\,\alpha'(x)\,dx$ 임을 증명하세요.

U(f, P, \alpha) = \sum M_i\,\alpha'(\xi_i)\,\Delta x_i \;\xrightarrow[\text{mesh} \to 0]{}\; \int_a^b f(x)\,\alpha'(x)\,dx

\alpha(x) = x^2

,

n = 12

:

U

와

L

이 엄밀값

\int_0^1 x \cdot 2x\,dx = \frac23 \approx 0.6667

로 모입니다 —

\alpha' = 2x

가 무게로 들어간 리만 적분과 같습니다.

증명 보기

평균값 정리에 의해 각 구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 마다 $\xi_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 가 있어 $\Delta\alpha_i = \alpha'(\xi_i)\,\Delta x_i$ 입니다 ( $\alpha$ 가 $C^1$ 이므로 $\alpha'$ 는 연속). 따라서 $U(f, P, \alpha) = \sum M_i\,\alpha'(\xi_i)\,\Delta x_i$ 이고, $\alpha$ 가 증가하므로 $\alpha' \ge 0$ 이며 $A = \max_{[a,b]} \alpha' < \infty$ 입니다.
적분 가능성을 먼저 확인합니다: $U - L = \sum (M_i - m_i)\,\alpha'(\xi_i)\,\Delta x_i \le A\sum (M_i - m_i)\,\Delta x_i = A\,(U(f, P) - L(f, P))$ 입니다. $f$ 가 연속이므로 리만 적분 가능하고, 그물 $\to 0$ 에서 $U(f, P) - L(f, P) \to 0$ — 따라서 $U(f, P, \alpha) - L(f, P, \alpha) \to 0$ 이므로 RS 적분 $\int_a^b f\,d\alpha$ 가 존재합니다.
이제 $U(f, P, \alpha)$ 를 리만합 $S(P) = \sum f(t_i)\,\alpha'(t_i)\,\Delta x_i$ (표본점 $t_i \in [x_{i-1}, x_i]$ , 예컨대 $t_i = x_{i-1}$ )와 비교합니다. $\lvert M_i\,\alpha'(\xi_i) - f(t_i)\,\alpha'(t_i)\rvert \le \lvert M_i - f(t_i)\rvert\,\alpha'(\xi_i) + \lvert f(t_i)\rvert\,\lvert\alpha'(\xi_i) - \alpha'(t_i)\rvert$ 이므로, $F = \max_{[a,b]} |f|$ 라 두면 $\lvert U(f, P, \alpha) - S(P)\rvert \le A\,\omega_f(\delta)\,(b-a) + F\,\omega_{\alpha'}(\delta)\,(b-a)$ 입니다. 여기서 $\omega_f, \omega_{\alpha'}$ 는 균등연속성에 의한 연속 모듈러스이고 $\delta$ 는 그물입니다.
$\delta \to 0$ 에서 $\omega_f(\delta), \omega_{\alpha'}(\delta) \to 0$ 이므로 $|U(f, P, \alpha) - S(P)| \to 0$ 입니다. $f\,\alpha'$ 가 연속이므로 $S(P) \to \int_a^b f(x)\,\alpha'(x)\,dx$ 이고, $U(f, P, \alpha) \to \int_a^b f\,d\alpha$ 이므로 (RS 적분 가능성은 위에서 확인), 두 극한이 같아야 합니다: $\int_a^b f\,d\alpha = \int_a^b f(x)\,\alpha'(x)\,dx$ . 모든 단계가 완성되었습니다 — 아이디어 수준 표기는 없습니다.

리만-스틸체스 적분

예제