e로 가는 두 길

e에 다가가는 두 길의 속도를 견주는 장면입니다.

복리 길은 횟수를 늘려도 한 걸음씩 느리게 다가갑니다. 팩토리얼 급수는 항이 순식간에 작아집니다. 몇 항만 더해도 자릿수가 금방 맞아떨어집니다.

예를 들면, 🐷 저금통의 💰 돈에 이자가 붙고 그 이자에 또 이자가 붙는 복리와 같아요. 횟수를 늘릴수록 e에 가까워지지만, 급수 쪽이 훨씬 먼저 도착해요.

e=∑k=0∞1k!e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}
e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

예제

ee가 무리수임을 증명하세요.

0<q!(e−∑k=0q1k!)<10 < q!\left(e - \sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}\right) < 1
n=10n = 10: 급수는 이미 ee에 3×10−83\times 10^{-8} 이내로 다가갑니다.
증명 보기

  1. 먼저 2<e<32 < e < 3입니다: e=∑k=0∞1k!>1+1=2e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} > 1+1 = 2이고, k≥1k \ge 1에서 k!≥2k−1k! \ge 2^{k-1}이므로 e<1+1+12+14+⋯=3e < 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots = 3입니다. 따라서 e=pqe = \frac{p}{q}라면 q≥2q \ge 2입니다.

  2. q!e=(q−1)! pq!e = (q-1)!\,p는 정수이고, ∑k=0qq!k!\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}도 정수입니다. 꼬리를 T=q!(e−∑k=0q1k!)T = q!\left(e - \sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}\right)라 두면, T=1q+1+1(q+1)(q+2)+⋯T = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots이므로 0<T<1q+1(1+1q+1+⋯ )=1q≤12<10 < T < \frac{1}{q+1}\left(1+\frac{1}{q+1}+\cdots\right) = \frac{1}{q} \le \frac{1}{2} < 1입니다.

  3. 그런데 q!e=(정수)+Tq!e = \text{(정수)} + T이므로 q!eq!e는 정수가 아닙니다 — 모순입니다. 따라서 ee는 무리수입니다.

n≥1n \ge 1일 때 나머지 추정 Rn=∑k>n1k!<1n⋅n!R_n = \sum_{k>n}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n\cdot n!}을 증명하세요.

Rn<1(n+1)!(1+1n+1+1(n+1)2+⋯ )=1n⋅n!R_n < \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots\right)=\frac{1}{n\cdot n!}
n=10n = 10: 실제 나머지 ≈2.73×10−8\approx 2.73\times 10^{-8}, 한계 ≈2.76×10−8\approx 2.76\times 10^{-8}.
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  1. n≥1n \ge 1이라 가정합니다(n=0n = 0이면 1n⋅n!\frac{1}{n \cdot n!}이 정의되지 않고 아래의 기하 bound n+1n\frac{n+1}{n}도 성립하지 않습니다). Rn=1(n+1)!+1(n+2)!+⋯=1(n+1)!(1+1n+2+1(n+2)(n+3)+⋯ )R_n = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots = \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots\right)입니다.

  2. 괄호 안은 1+1n+1+1(n+1)2+⋯=n+1n1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots = \frac{n+1}{n}보다 작습니다 (기하급수).

  3. 따라서 Rn<1(n+1)!⋅n+1n=1n⋅n!R_n < \frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{n+1}{n} = \frac{1}{n\cdot n!}입니다. 팩토리얼 급수가 압도적으로 빠른 이유가 바로 이 추정입니다.

(1+1n)n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n이 ee 아래에서 증가함을 보이세요.

(1+1n)n=∑k=0n1k!∏j=0k−1(1−jn)<e\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) < e
sn+1−sn=∑k=0n(an+1,k−an,k)+an+1,n+1>0s_{n+1} - s_n = \sum_{k=0}^{n} (a_{n+1,k} - a_{n,k}) + a_{n+1,n+1} > 0
n=30n = 30: 복리 길은 ee에 한참 못 미칩니다.
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  1. sn=(1+1n)ns_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n라 둡니다. 이항정리로 sn=∑k=0n(nk)1nks_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}이고, (nk)1nk=1k!∏j=0k−1(1−jn)\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) (k=0k = 0이면 빈 곱 =1= 1)이므로 sn=∑k=0nan,ks_n = \sum_{k=0}^{n} a_{n,k} (단 an,k=1k!∏j=0k−1(1−jn)a_{n,k} = \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right))입니다.

  2. 항별 비교: 고정된 k≥1k \ge 1에 대해 0<j≤k−10 < j \le k-1이면 (1−jn)<(1−jn+1)\left(1-\frac{j}{n}\right) < \left(1-\frac{j}{n+1}\right) (nn이 커지면 빼는 양이 작아짐)이므로 an,k≤an+1,ka_{n,k} \le a_{n+1,k} — k≥2k \ge 2이면 인자 j=1j = 1에서 엄밀히 작아져 an,k<an+1,ka_{n,k} < a_{n+1,k}입니다. 모든 항은 양수입니다.

  3. 정확한 차분은 sn+1−sn=∑k=0n(an+1,k−an,k)+an+1,n+1s_{n+1} - s_n = \sum_{k=0}^{n} (a_{n+1,k} - a_{n,k}) + a_{n+1,n+1}입니다.

    모든 차이 an+1,k−an,k≥0a_{n+1,k} - a_{n,k} \ge 0이고 추가 항 an+1,n+1>0a_{n+1,n+1} > 0이므로 sn+1−sn>0s_{n+1} - s_n > 0입니다.

    n≥2n \ge 2이면 k=2k = 2 항의 차이 an+1,2−an,2>0a_{n+1,2} - a_{n,2} > 0도 양의 기여를 합니다.

    n=1n = 1인 경우는 따로 확인합니다: s1=1+1=2s_1 = 1 + 1 = 2, s2=1+1+14=2.25s_2 = 1 + 1 + \frac{1}{4} = 2.25이므로 s2−s1=14>0s_2 - s_1 = \frac{1}{4} > 0입니다(a1,2a_{1,2}는 n=1n = 1인 합에 존재하지 않으므로, k=2k = 2 차이를 n=1n = 1에 적용하면 a2,2a_{2,2}를 이중으로 세게 됩니다).

    즉 sns_n은 엄밀히 증가합니다.

  4. 각 인자는 (1−jn)≤1\left(1-\frac{j}{n}\right) \le 1입니다.

    k=0k = 0이면 빈 곱이라 an,0=10!=1a_{n,0} = \frac{1}{0!} = 1이고, k=1k = 1이면 유일한 인자가 j=0j = 0인 11이라 an,1=11!=1a_{n,1} = \frac{1}{1!} = 1 — 등호가 성립합니다.

    k≥2k \ge 2이면 j=1j = 1 인자가 엄격히 11보다 작아 an,k<1k!a_{n,k} < \frac{1}{k!}입니다.

    따라서 an,k≤1k!a_{n,k} \le \frac{1}{k!} (등호는 k=0,1k = 0, 1에서만)이고, sn≤∑k=0n1k!<∑k=0∞1k!=es_n \le \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e입니다 — sns_n은 ee 아래에 있고, 극한 L=lim⁡snL = \lim s_n은 L≤eL \le e를 만족합니다.

  5. 극한이 정확히 ee임을 보입니다.

    KK를 고정하면 n≥Kn \ge K일 때 sn≥∑k=0Kan,ks_n \ge \sum_{k=0}^{K} a_{n,k}입니다.

    고정된 kk에 대해 n→∞n \to \infty이면 각 인자 (1−jn)→1\left(1-\frac{j}{n}\right) \to 1이므로 an,k→1k!a_{n,k} \to \frac{1}{k!}입니다.

    따라서 L≥∑k=0K1k!L \ge \sum_{k=0}^{K} \frac{1}{k!}가 모든 KK에 대해 성립하고, K→∞K \to \infty로 보내면 L≥eL \ge e입니다.

    앞 단계의 L≤eL \le e와 합치면 L=eL = e입니다 — sns_n은 아래에서 ee로 증가합니다.

8. 거듭제곱급수