뮌츠-서스 정리

먼저 $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$을 계산합니다 (완전한 증명). $f(x) = x$를 $(-\pi, \pi)$에서 봅니다. $f$는 연속이므로 $f \in L^2(-\pi, \pi)$입니다 ($\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx < \infty$) — 따라서 Parseval 항등식을 $f$에 적용할 수 있습니다.

$f$는 홀함수이므로 모든 코사인 계수가 사라집니다: $a_0 = 0$이고 모든 $k$에 대해 $a_k = 0$이며, 사인 계수 $b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(kx)\,dx = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}$ (부분적분은 다음 단계)만 남습니다. $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2)$ 형태의 Parseval 항등식은 따라서 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{k=1}^{\infty} b_k^2$가 됩니다. 좌변은 $\frac{2\pi^2}{3}$이고 $b_k^2 = \frac{4}{k^2}$이므로 $4\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{2\pi^2}{3}$, 즉 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449 < \infty$입니다.

계수 $b_k$를 부분적분으로 직접 계산합니다. $x\sin(kx)$는 우함수이므로 $b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(kx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(kx)\,dx$입니다. $u = x$, $dv = \sin(kx)\,dx$로 두면 $du = dx$, $v = -\frac{\cos(kx)}{k}$이므로, 부정적분은 $\int x\sin(kx)\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \int \frac{\cos(kx)}{k}\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^2}$입니다.

$0$부터 $\pi$까지 대입하면 $\left[-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k} + \frac{\sin(k\pi)}{k^2}\right] - 0 = -\frac{\pi(-1)^k}{k}$입니다 ($\sin(k\pi) = 0$). 따라서 $b_k = \frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi(-1)^k}{k}\right) = -\frac{2(-1)^k}{k} = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}$입니다.

이제 Müntz–Szász 정리의 필요조건 방향을 인용합니다: $\sum \frac{1}{\lambda_n} < \infty$이면 $\operatorname{span}\{1, x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \ldots\}$는 $C[0,1]$에서 조밀하지 않습니다. [스케치 표시: 이 방향의 완전한 증명은 복소해석학을 필요로 합니다 — $\sum 1/\lambda_n$의 수렴이 Blaschke 곱 형태의 무한곱을 수렴시켜, 모든 $x^{\lambda_n}$과 (가중 $L^2$ 내적에서) 직교하는 0이 아닌 해석함수를 만들고, Hahn–Banach 정리가 그 span에서 고정된 양의 거리만큼 떨어진 연속함수를 분리해냅니다. 여기서는 결론만 씁니다.]

$\lambda_n = n^2$인 경우 $\sum \frac{1}{\lambda_n} = \frac{\pi^2}{6} < \infty$이므로, $\operatorname{span}\{1, x, x^4, x^9, \ldots\}$는 $C[0,1]$에서 조밀하지 않습니다 — 씬에서 희소 기저의 오차가 $\approx 0.16$에 묶이는 이유입니다.

$p_n$이 짝다항식이고 $p_n \to f$가 $[-1, 1]$에서 균등수렴한다고 하자. 균등수렴은 점별 수렴을 함의하므로 각 $x \in [-1, 1]$에 대해 $f(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(x)$이다. 각 $p_n$이 짝함수이므로 $p_n(x) = p_n(-x)$이고, 따라서 $f(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(x) = \lim_{n \to \infty} p_n(-x) = f(-x)$이다.

즉 $f$는 짝함수이다 — 짝다항식들의 균등 극한은 항상 짝이다. (증명 끝)

$g(x) = x$는 $[-1, 1]$ 위의 연속함수이지만 짝함수가 아니다. 만약 $\operatorname{span}\{1, x^2, x^4, \ldots\}$가 $C[-1, 1]$에서 조밀했다면, $g$에 균등수렴하는 짝다항식 열이 존재하고, 방금 증명한 바에 의해 그 극한 $g$는 짝함수여야 한다 — 모순이다. 따라서 $\operatorname{span}\{1, x^2, x^4, \ldots\}$는 $C[-1, 1]$에서 조밀하지 않다.

(참고: 이는 $C[-1,1]$에서의 이야기이며, 씬의 $C[0,1]$ 위의 희소 기저 $\{1, x, x^4, \ldots\}$와는 구별된다 — 후자의 비조밀성은 첫 번째 문제의 Müntz–Szász 필요조건이 맡는다.)

조화급수는 발산한다: $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$에 대해 각 항 $\frac{1}{k} \ge \int_{k}^{k+1} \frac{dx}{x}$이므로 $H_n \ge \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1) \to \infty$이다. 따라서 $\lambda_n = n$인 경우 $\sum \frac{1}{\lambda_n} = \infty$이다.

(수치 목격자: $H_{1000} \approx 7.4855 > \ln(1001) \approx 6.9088$.)

$\lambda_n = n$일 때 $\operatorname{span}\{1, x, x^2, \ldots\}$는 정확히 모든 (실수 계수) 다항식의 집합이다 — $x^k$ 자체가 $k$번째 기저 원소이므로, 차수 $d$ 이하의 모든 다항식은 처음 $d+1$개의 기저 원소의 선형결합이다. 바이어슈트라스 근사정리에 의해 다항식은 $C[0,1]$에서 균등하게 조밀하므로, 이 span도 조밀하다.

Müntz–Szász의 충분조건 방향을 인용할 필요가 전혀 없다 — 이 경우는 바이어슈트라스가 직접 처리한다.

구체적인 확인: $N \ge 2$이면 $x^2$는 기저 원소 그 자체이므로 $\operatorname{span}\{1, x, \ldots, x^N\}$에 자명하게 속한다 — 근사가 아니라 정확한 소속이다. 씬은 이 조밀함이 $\sqrt{x}$ 같은 특이점을 가진 함수에도 실제로 작동함을 보여준다: 조밀 기저의 최소제곱합 오차는 $N = 4, 6, 8$에서 $0.1003 \to 0.0708 \to 0.0544$로 줄어든다.

(증명 끝)