팻 칸토어 집합

실행 가능성 확인: $n$단계 구간의 공통 길이를 $\ell_n$이라 하면 $\ell_0 = 1$이고 점화식은 $\ell_n = (\ell_{n-1} - 4^{-n})/2$입니다.

귀납법으로 정확한 공식 $\ell_n = \frac{2^{-n} + 4^{-n}}{2}$를 얻습니다 ($n = 0$: $\frac{1 + 1}{2} = 1$; 단계는 직접 대입으로 확인됩니다).

따라서 $\ell_{n-1} = \frac{2^{-(n-1)} + 4^{-(n-1)}}{2} > \frac{2^{-(n-1)}}{2} = 2^{-n} > 4^{-n}$ ($n \ge 1$)이므로, 길이 $4^{-n}$인 가운데 구간은 실제로 들어갑니다 — 제거가 모든 단계에서 가능합니다.

$n$단계에서는 $n-1$단계에서 살아남은 닫힌구간이 $2^{n-1}$개 있고, 각 구간에서 길이 $4^{-n}$인 가운데 열린구간을 정확히 하나씩 제거합니다.

서로 다른 단계·서로 다른 구간에서 제거된 열린구간들은 모두 서로소입니다 (닫힌구간 안쪽에서 파낸 것이고, 단계가 진행될수록 남은 집합이 중첩되므로).

따라서 $N$단계까지 제거된 총길이는 단계별 기여의 합입니다.

$n$단계의 기여는 $2^{n-1} \cdot 4^{-n}$입니다.

지수를 정리하면 $\dfrac{2^{n-1}}{4^n} = \dfrac{2^{n-1}}{2^{2n}} = 2^{-n-1}$이므로, 제거된 총길이는 공비 $\tfrac12$인 기하급수 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-1}$입니다.

첫 항이 $\tfrac14$이므로 합은 $\dfrac{1/4}{1 - 1/2} = \tfrac12$입니다.

유한 단계 버전: $N$단계까지 제거된 총길이는 부분합 $\sum_{n=1}^{N} 2^{-n-1} = \tfrac14 \cdot \dfrac{1 - 2^{-N}}{1 - 1/2} = \tfrac12(1 - 2^{-N})$입니다.

$[0,1]$에서 시작했으므로 $N$단계 뒤 남은 길이는 $1 - \tfrac12(1 - 2^{-N}) = \tfrac12(1 + 2^{-N})$이고, $N \to \infty$에서 $\tfrac12$로 수렴합니다.

$N = 1$이면 $1 - \tfrac14 = \tfrac34 = \tfrac12(1 + \tfrac12)$ — 구간 $[0, \tfrac38]$과 $[\tfrac58, 1]$이 남고 가운데 $(\tfrac38, \tfrac58)$이 파인 것과 일치합니다.

유한 부분합에서 무한 합으로의 이행은 Lebesgue 측도의 가산 가법성(아래로부터의 연속성)에 근거합니다: 서로소인 제거 구간들의 합집합 $G$에 대해 $m(G) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} 4^{-n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} 2^{-n-1} = \tfrac12$입니다.

따라서 제거된 열린구간들의 서로소 합집합 $G$의 Lebesgue 측도는 $m(G) = \tfrac12$이고, $C = [0,1] \setminus G$이므로 $m(C) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 > 0$입니다.

표준 칸토어 집합($n$단계에서 각 구간의 가운데 $1/3$ 제거, 남은 길이 $(2/3)^n \to 0$)과의 차이가 여기서 갈립니다.

Compact: 각 $F_n$은 닫힌구간들의 유한 합집합이므로 닫힌집합이고, $C = \bigcap_n F_n$은 닫힌집합들의 교집합이므로 닫혀 있습니다. $C \subset [0,1]$이 유계이므로 Heine–Borel 정리로 $C$는 compact합니다.

길이 보조정리: 대칭성으로 $n$단계의 모든 구간은 길이가 같습니다.

그 길이를 $\ell_n$이라 하면 $\ell_0 = 1$, $\ell_n = (\ell_{n-1} - 4^{-n})/2$이므로 $\ell_n < \ell_{n-1}/2$입니다.

부등식 $\ell_n < 2^{-n}$은 $n \ge 1$에서만 성립합니다 ($n = 0$이면 $1 < 1$로 거짓입니다).

Base case는 $n = 1$입니다: 구성에서 직접 $\ell_1 = (1 - 4^{-1})/2 = 3/8 < 1/2 = 2^{-1}$입니다.

Inductive step: $n \ge 2$이고 $\ell_{n-1} < 2^{-(n-1)}$이면 $\ell_n < \ell_{n-1}/2 < 2^{-(n-1)}/2 = 2^{-n}$입니다.

따라서 모든 $n \ge 1$에 대해 $\ell_n < 2^{-n}$이며, 특히 $\ell_n \to 0$입니다.

Nowhere dense: $C$가 닫혀 있으므로 $\overline{C}$의 내부가 비었음을 보이면 됩니다.

길이가 $\delta > 0$인 열린구간 $I$를 잡고, $(0,1)$ 안에 들어가도록 축소해도 됩니다 (그렇지 않으면 $I \not\subset C$가 자명).

$2^{-n} < \delta$인 $n$을 택하면 $\ell_n < \delta$입니다.

$I$가 어떤 제거된 열린구간과도 만나지 않는다고 가정하면, $I \subset F_n$이 됩니다.

$F_n$은 서로소인 닫힌구간들의 합집합이고 $I$는 연결집합이므로, $I$는 그 중 정확히 하나의 구간 $J$ 안에 통째로 들어갑니다.

그런데 $\delta = \lvert I \rvert \le \lvert J \rvert = \ell_n < \delta$ — 모순입니다.

따라서 $I$는 항상 제거된 열린구간과 만나고, 그 교집합은 $I \setminus C$의 비어 있지 않은 열린 부분집합입니다. 즉 어떤 비어 있지 않은 열린구간도 $C$ 안에 들어가지 않으므로 $\operatorname{int}(C) = \varnothing$ — $C$는 nowhere dense입니다.

Perfect: $x \in C$라 하자.

각 단계 $n$에서 $x$는 어떤 $n$단계 구간 $J_n$에 속합니다.

$n+1$단계에서 $J_n$은 가운데 열린구간을 사이에 두고 두 개의 닫힌 자식구간 $J', J''$로 갈라지고, $x$는 그 중 하나(예컨대 $J'$)에 속합니다.

형제 구간 $J''$ 안의 점을 명시적으로 만듭니다: $J''$에서 시작해 각 단계마다 자식 중 하나(예컨대 왼쪽 자식)를 골라 중첩 사슬 $J'' = K_{n+1} \supset K_{n+2} \supset \cdots$를 만들면 $\lvert K_j \rvert = \ell_j \to 0$이므로, 중첩구간 원리로 교집합 $\bigcap_j K_j$는 한 점 $z_n$으로 이루어집니다.

각 $K_j$는 어떤 $F_j$의 닫힌구간이고 $F_j$들은 중첩되므로 $z_n \in \bigcap_j F_j = C$이며, 처음 선택 때문에 $z_n \in J''$입니다.

가운데 간격이 $x$와 $z_n$을 분리하므로 $z_n \ne x$이고, $\lvert z_n - x \rvert \le \ell_n < 2^{-n} \to 0$입니다 ($n \ge 1$).

따라서 $x$의 모든 근방은 $C \setminus \{x\}$의 점을 포함하므로 $x$는 $C$의 극한점입니다.

모든 $x \in C$에 대해 성립하므로 $C$는 perfect합니다.

$U$는 닫힌집합 $C$의 여집합이므로 $[0,1]$의 상대위상에서 열려 있습니다. 구체적으로 $U$는 모든 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합 — 서로소인 열린구간들의 가산 합집합 — 입니다.

Dense: 앞 문제에서 모든 비어 있지 않은 열린구간이 제거된 열린구간과 만난다는 것을 보였습니다.

상대위상까지 처리합니다: $[0,1]$의 비어 있지 않은 상대적 열린집합은 열린구간이거나 끝점에 닿은 $[0, a)$ ($a > 0$), $(b, 1]$ ($b < 1$) 꼴을 포함합니다.

끝점 경우에도 $(0, a)$ 또는 $(b, 1)$이라는 비어 있지 않은 열린구간을 포함하므로 앞의 논증이 그대로 적용됩니다.

즉 모든 상대적 열린집합은 $U$의 점을 포함하므로, $U$는 $[0,1]$에서 조밀합니다.

측도: 제거된 열린구간들은 서로소이므로 $m(U) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} 4^{-n} = \tfrac12$입니다 (첫 번째 문제의 기하급수). 따라서 $m(C) = m([0,1]) - m(U) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12$입니다.

정리하면: $C$는 닫혀 있고, 내부가 비어 있고(nowhere dense), perfect하며, 길이는 $\tfrac12$입니다.

그 여집합 $U$는 열려 있고, 조밀하며, 길이는 $\tfrac12$입니다.

위의 표가 보여주듯 네 칸이 모두 찹니다 — 표준 칸토어 집합(nowhere dense, 측도 0), fat Cantor 집합(nowhere dense, 측도 $\tfrac12$), $[0,1]$의 유리수들(조밀, 측도 0), 무리수들(조밀, 측도 1).

심지어 "열려 있고 조밀한데 측도가 임의로 작은" 집합도 있습니다 (유리수를 $q_1, q_2, \dots$로 나열하고 — 인덱스는 $k \ge 1$부터 — 각 $q_k$마다 반지름 $\varepsilon/2^k$인 열린구간을 잡은 합집합: 각 구간의 길이는 $2\varepsilon/2^k$이고 $\sum_{k=1}^{\infty} 2\varepsilon/2^k = 2\varepsilon$이므로 전체 측도 $\le 2\varepsilon$).

결론: "내부가 비었다"는 위상적 진술과 "길이가 얼마이다"는 측도적 진술은 서로에게 아무것도 강제하지 않습니다 — fat Cantor 집합은 그 독립성을 보여주는 가장 극적인 예입니다.