기대효용 대 기대이윤

미시에서는 한 사람의 위험 태도와 한 기업의 선택을 따로 봤다. 거시에서는 그 태도들이 합쳐져 경제 전체를 움직인다.

사람은 흔들리는 결과를 싫어해 보험을 산다. 평균이 같아도 확실한 쪽을 고른다. 기업은 평균 이윤만 보고 위험한 쪽을 고른다. 여럿이 나눠 가지면 흔들림이 작아지기 때문이다. 아래 식들이 사람과 기업의 잣대를 나란히 보여 준다. 여기서 다루는 건 확률을 아는 리스크다.

예를 들면, 동전 던지기로 💰 용돈을 정한다고 해보자. 앞면이면 10,000원, 뒷면이면 0원이다. 평균은 5,000원이지만, 너는 확실한 4,500원을 더 좋아할 수 있다. 무서워서 양보하는 500원이 보험료와 같은 돈이다.

EU=pWhi+(1−p)WloEU = p\sqrt{W_{hi}} + (1-p)\sqrt{W_{lo}}
E[π]=pπhi+(1−p)πloE[\pi] = p\pi_{hi} + (1-p)\pi_{lo}
σXˉ=σN\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

개념 확인

동전 한 번으로 재산이 160160이 되거나 4040이 된다 (반반).

효용이 u(x)=xu(x) = \sqrt{x}인 사람에게 이 도박의 확실성 등가는 얼마이고, 위험 프리미엄은 얼마인가?

재산 160160 또는 4040, 반반 — 그림의 점들이 정확히 이 경우다.
  1. 확실성 등가 100100, 위험 프리미엄 00
  2. 확실성 등가 9090, 위험 프리미엄 1010
  3. 확실성 등가 110110, 위험 프리미엄 −10-10
  4. 확실성 등가 9090, 위험 프리미엄 6060
해설 보기

정답: 확실성 등가 9090, 위험 프리미엄 1010

기대효용은 EU=0.5160+0.540≈9.49EU = 0.5\sqrt{160} + 0.5\sqrt{40} \approx 9.49라 확실성 등가는 EU2=90EU^2 = 90이고, 위험 프리미엄은 기대재산 100100에서 이를 뺀 1010이다. 프리미엄이 00인 경우는 위험중립일 때뿐이고, 등가가 기대재산보다 큰 경우는 위험을 좋아할 때뿐이다. 6060은 위험 프리미엄이 아니라 이 도박을 보험으로 읽을 때의 공정 보험료다.

기업이 안전한 프로젝트(이윤 4040 확실)와 위험한 프로젝트(이윤 8080 또는 2020, 반반) 중 하나를 골라야 한다.

그리고 주주가 똑같은 위험 프로젝트 1616개를 독립적으로 들고 있다면 평균 이윤의 퍼짐과, 평균이 안전한 이윤 4040보다 낮아질 확률은?

복사본 1616개 — 아래 패널의 점이 σ/16\sigma / \sqrt{16} 자리에 있다.
증명 보기

  1. 기업은 기대이윤만 본다: 위험한 프로젝트는 0.5⋅80+0.5⋅20=50>400.5 \cdot 80 + 0.5 \cdot 20 = 50 > 40이므로 위험한 쪽을 고른다. 반으로 쪼개질 수 있는데도 그렇다 — 판단 기준이 효용이 아니라 이윤의 평균이기 때문이다.

  2. 프로젝트 하나의 퍼짐은 σ=30\sigma = 30이다.

    독립적인 복사본 NN개의 평균의 퍼짐은 σ/N\sigma / \sqrt{N}이므로, 1616개면 30/4=7.530 / 4 = 7.5로 줄어든다.

    평균이 4040 아래로 떨어지려면 1616개 중 좋은 결과가 55개 이하여야 하는데, 그 확률은 약 10.5%10.5\%다 (복사본 11개일 때는 50%50\%).

  3. 그래서 주주는 위험을 거의 느끼지 않는다: 기대이윤 5050은 그대로인데 위험만 증발한다. 분산할 수 없는 자기 일자리 하나에 묶인 가계와, 분산할 수 있는 주주의 태도가 갈리는 이유다.

9. 위험과 불확실성