기계만 쌓아서는 못 크는 나라

미시에서는 한 기업의 생산함수가 그 기업의 선택을 정했다. 거시에서는 그 생산함수를 나라 전체로 합쳐 수십 년을 굴려 본다.

⚙️ 기계가 쌓일수록 생산은 늘지만 느리게 는다. 닳아 없어지는 기계는 쌓인 만큼 빠르게 늘어난다. 둘이 같아지는 자리에서 성장은 멈춘다. 그 자리가 아래 식의 정상상태다. 가난한 나라도 부유한 나라도 결국 같은 자리에 모인다.

예를 들면, 🌱 씨앗을 심어 키우는 마을이 있다. 처음엔 씨앗을 더 심을수록 수확이 쑥쑥 늘어난다. 하지만 밭이 가득 차면 더 심어도 수확은 조금만 는다. 해마다 썩는 씨앗도 생긴다. 새로 심는 양과 썩는 양이 같아지면 수확은 멈춘다.

k_{t+1} = k_t + s\sqrt{k_t} - \delta k_t

k^* = (s/\delta)^2

y^* = s/\delta

이 씬이 포함된 학습 경로

한 나라가 저축률을 $s = 0.2$ 에서 $s = 0.4$ 로 두 배로 올렸다 ( $\delta = 0.1$ ).

새 정상상태의 자본과 산출은 얼마이고, 그곳에 도착한 뒤에도 성장은 계속될까?

저축률

0.4

, 감가상각

0.1

— 새 정상상태

k^* = 16

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전에는 $k^* = (0.2 / 0.1)^2 = 4$ , $y^* = 0.2 / 0.1 = 2$ 였다. 저축률이 두 배가 되면 $k^* = (0.4 / 0.1)^2 = 16$ 으로 네 배, $y^* = 0.4 / 0.1 = 4$ 로 두 배가 된다.
가는 길에서는 매 기간 저축이 감가상각보다 많아 자본이 쌓이며 성장하지만, $k = 16$ 에 닿는 순간 두 흐름이 같아져 성장은 다시 $0$ 이 된다. 저축은 나라의 높이(수준)는 바꿔도 성장률은 영구히 바꾸지 못한다.

저축률 $s = 0.25$ 와 감가상각 $\delta = 0.1$ 이 똑같은 두 나라가 자본 $k_0 = 1$ 과 $k_0 = 25$ 에서 출발한다.

첫 기간에 각자 얼마나 성장하고, 둘은 결국 어디에 도착할까?

저축률

0.25

, 감가상각

0.1

— 공통의 정상상태

k^* = 6.25

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가난한 나라: $k_1 = 1 + 0.25\sqrt{1} - 0.1 \cdot 1 = 1.15$ , 성장률 $+15\%$ 다.
부유한 나라: $k_1 = 25 + 0.25\sqrt{25} - 0.1 \cdot 25 = 25 + 1.25 - 2.5 = 23.75$ , 성장률 $-5\%$ 다.
자본이 많을수록 새 기계가 보태는 산출은 줄고(수확 체감) 닳는 양은 늘기 때문이다.
둘의 정상상태는 같다: $k^* = (0.25 / 0.1)^2 = 6.25$ , $y^* = 2.5$ . 출발점이 달라도 같은 저축률과 기술이면 같은 높이에 모인다 — 가난한 나라가 더 빨리 크는 수렴이 그 과정이다.