연습문제 · 8. 성장: Solow와 그 너머

연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

보통

1보통반례형

감가상각률이 $\delta = 0.1$ 인 Solow 경제에서 정상상태 소비 $c^* = y^* - \delta k^*$ 를 저축률 $s = 0.2$ , $s = 0.4$ , $s = 0.8$ 에 대해 각각 구하라.

저축을 늘릴수록 정상상태에서 먹는 양도 늘까?

판정

이 명제는 거짓이다 — 저축률 $0.8$ 에서는 정상상태 소비가 $1.6$ 으로 떨어져, $0.4$ 일 때의 $2.4$ 보다 오히려 적게 먹는다

저축률

0.4

— 정상상태

k^* = 16

y^* = 4

c^* = 2.4

풀이 보기

반례 구성과 검증

$s = 0.2$ : $y^* = 2$ , $k^* = 4$ 라서 낡은 기계를 갈아 끼우는 데 $\delta k^* = 0.4$ 가 들고 $c^* = 2 - 0.4 = 1.6$ 이다.
$s = 0.4$ : $y^* = 4$ , $k^* = 16$ , 교체 비용 $1.6$ , $c^* = 4 - 1.6 = 2.4$ 다.
여기까지는 저축이 소비를 늘린다.
그런데 $s = 0.8$ 이면 $y^* = 8$ , $k^* = 64$ 가 되어 교체 비용만 $6.4$ 가 들고 $c^* = 8 - 6.4 = 1.6$ 으로 도로 줄어든다.
기계를 너무 많이 쌓으면 산출의 대부분이 그 기계를 유지하는 데 새어 나가기 때문이다.
정상상태 소비는 $s = 0.5$ 에서 $c^* = 2.5$ 로 꼭짓점을 찍는다.

2어려움

이자율 $r = 0.04$ , 소득 $y = 4$ 인 가계가 자산 $a = 10$ 을 들고 있다.

인내심이 $\beta = 0.80$ , $0.90$ , $0.95$ 일 때 최적의 다음 기간 자산을 각각 구하고, 이 가계가 자산을 줄이지 않게 되는 가장 작은 $\beta$ (소수 둘째 자리 격자)를 찾아라.

이자율

0.04

, 인내심

0.90

— 자산

10

에서 소비

7.4

, 저축

7

풀이 보기

가치 반복으로 구한 규칙을 자산 $10$ 에서 읽으면: $\beta = 0.80$ 이면 $a' = 4$ (소비 $10.4$ ), $\beta = 0.90$ 이면 $a' = 7$ (소비 $7.4$ ), $\beta = 0.95$ 이면 $a' = 9$ (소비 $5.4$ )다. 자원은 셋 다 $(1.04)(10) + 4 = 14.4$ 로 같고, 인내심이 한 칸 오를 때마다 오늘의 접시에서 내일의 곳간으로 옮겨 간다.
자산이 줄지 않으려면 $a' \ge 10$ 이 필요하다.
$\beta = 0.95$ 에서는 $a' = 9$ 로 아직 한 칸 모자라고, $\beta = 0.96$ 에서 $a' = 10$ (소비 $4.4$ )이 되어 처음으로 제자리를 지킨다.
이 경계는 $\beta (1 + r) = 1$ , 즉 $\beta = 1 / 1.04 \approx 0.9615$ 근처에 있다: 이자를 감안한 인내심이 정확히 균형을 이루는 지점이다.