복소수 | Real Analysis

복소수를 평면 위의 점으로 봅니다. 실수 부분은 가로축, 허수 부분은 세로축입니다. 절댓값은 원점에서 그 점까지의 거리입니다. 두 복소수를 더하면 평행사변형의 대각선이 됩니다. 그 대각선은 두 변의 길이 합보다 길어지지 않습니다. 이것이 삼각부등식입니다. 예를 들면, 🧭 동쪽으로 3보, 북동쪽으로 꺾어 4보를 더 걸어도 직선거리는 꺾인 길보다 짧습니다. 절댓값이 재는 것이 바로 그 직선거리입니다.

예제

모든 복소수 $z, w \in \mathbb{C}$ 에 대해 삼각부등식 $|z + w| \le |z| + |w|$ 를 완전히 증명하세요. 힌트 없이, $|z + w|^2$ 를 켤레로 전개하는 것부터 시작하세요.

|z + w| \le |z| + |w| \qquad (z, w \in \mathbb{C})

z = 1.2 + 0.8i

w = -0.6 + 1.1i

|z + w| = \sqrt{3.97} \approx 1.992

이고

|z| + |w| \approx 2.695

라서 여유가 약

0.703

입니다.

증명 보기

먼저 $|\zeta|^2 = \zeta \bar{\zeta}$ ( $\zeta \in \mathbb{C}$ )를 이용해 $|z + w|^2$ 를 전개합니다. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ 이므로 $|z + w|^2 = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w} = |z|^2 + z\bar{w} + \bar{z}w + |w|^2$ . 여기서 $\bar{z}w = \overline{z\bar{w}}$ 입니다: $\overline{z\bar{w}} = \bar{z}\,\overline{\bar{w}} = \bar{z}w$ 이기 때문입니다. 어떤 복소수 $\zeta$ 에 대해서도 $\zeta + \bar{\zeta} = 2\,\mathrm{Re}\,\zeta$ 이므로, $\zeta = z\bar{w}$ 로 두면 $|z + w|^2 = |z|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\bar{w}) + |w|^2$ .
다음 보조 사실: 모든 $\zeta \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\mathrm{Re}\,\zeta \le |\zeta|$ 입니다. 증명: $\zeta = u + vi$ ( $u, v \in \mathbb{R}$ )로 쓰면 $\mathrm{Re}\,\zeta = u \le |u| = \sqrt{u^2} \le \sqrt{u^2 + v^2} = |\zeta|$ 입니다. 가운데 부등식은 $u^2 \le u^2 + v^2$ ( $v^2 \ge 0$ )와 제곱근의 단조성에서 옵니다. 따라서 $\mathrm{Re}(z\bar{w}) \le |z\bar{w}|$ 입니다.
이제 $|z\bar{w}| = |z|\,|w|$ 임을 직접 계산합니다. 양변 모두 $\ge 0$ 이므로 제곱을 비교하면 충분합니다: $|z\bar{w}|^2 = (z\bar{w})\,\overline{(z\bar{w})} = (z\bar{w})(\bar{z}w) = (z\bar{z})(w\bar{w}) = |z|^2 |w|^2 = (|z|\,|w|)^2$ . $[0, \infty)$ 에서 제곱근은 단조이므로 (혹은 양수의 제곱이 같으면 양수 자체가 같으므로) $|z\bar{w}| = |z|\,|w|$ 입니다.
모두 합칩니다: $|z + w|^2 = |z|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\bar{w}) + |w|^2 \le |z|^2 + 2|z\bar{w}| + |w|^2 = |z|^2 + 2|z|\,|w| + |w|^2 = (|z| + |w|)^2$ . 양변 모두 $\ge 0$ 이고 제곱근은 $[0, \infty)$ 에서 단조이므로, 제곱근을 취하면 $|z + w| \le |z| + |w|$ 를 얻습니다. ∎

모든 $z, w \in \mathbb{C}$ 에 대해 평행사변형 항등식 $|z + w|^2 + |z - w|^2 = 2|z|^2 + 2|w|^2$ 를 완전히 증명하세요. 네 항을 모두 $\zeta \bar{\zeta}$ 형태로 전개하고 교차항이 어떻게 상쇄되는지 명시하세요.

|z + w|^2 + |z - w|^2 = 2|z|^2 + 2|w|^2 \qquad (z, w \in \mathbb{C})

z = 1.2 + 0.8i

w = -0.6 + 1.1i

|z + w|^2 + |z - w|^2 = 3.97 + 3.33 = 7.30

이고

2|z|^2 + 2|w|^2 = 2(2.08 + 1.57) = 7.30

입니다.

증명 보기

합의 제곱을 전개합니다. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ 이므로 $|z + w|^2 = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w} = |z|^2 + z\bar{w} + \bar{z}w + |w|^2$ .
차의 제곱을 전개합니다. $\overline{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$ 이므로 $|z - w|^2 = (z - w)(\bar{z} - \bar{w}) = z\bar{z} - z\bar{w} - w\bar{z} + w\bar{w} = |z|^2 - z\bar{w} - \bar{z}w + |w|^2$ . 부호가 바뀐 곳은 정확히 교차항 $z\bar{w}$ 와 $\bar{z}w$ 뿐입니다.
두 전개를 더합니다. 교차항은 $+z\bar{w} - z\bar{w} = 0$ , $+\bar{z}w - \bar{z}w = 0$ 으로 상쇄되고, 대각항은 두 배가 됩니다: $|z + w|^2 + |z - w|^2 = (|z|^2 + |w|^2) + (|z|^2 + |w|^2) = 2|z|^2 + 2|w|^2$ . ∎
이 항등식이 다리인 이유: 요르단–폰 노이만 정리에 따르면, 모든 벡터에 대해 평행사변형 법칙을 만족하는 노름은 정확히 내적에서 오는 노름뿐입니다 — 이 $\mathbb{C}$ 계산이 그 방향의 씨앗이며, 수열 챕터의 평행사변형 법칙 씬에서 다시 만납니다.

모든 $z, w \in \mathbb{C}$ 에 대해 (i) $|zw| = |z|\,|w|$ , (ii) $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ , (iii) $\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}$ , (iv) $z\bar{z} = |z|^2$ 를 완전히 증명하세요. $z = a + bi$ , $w = c + di$ ( $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ )로 놓고 성분 계산을 명시하세요.

|zw| = |z|\,|w|, \qquad \overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}, \qquad \overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}, \qquad z\bar{z} = |z|^2

z = 1 + i

w = 1 - 0.5i

zw = 1.5 + 0.5i

라서

|zw| = \sqrt{2.5} \approx 1.581

이고

|z|\,|w| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1.25} = \sqrt{2.5}

로 일치합니다.

증명 보기

(iv)부터 합니다. $\bar{z} = a - bi$ 이므로 $z\bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$ . 교차항 $-abi + abi$ 가 상쇄되고 $i^2 = -1$ 이 $-b^2 i^2 = +b^2$ 를 만듭니다.
(ii) 합의 켤레: $z + w = (a + c) + (b + d)i$ 이므로 $\overline{z + w} = (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di) = \bar{z} + \bar{w}$ .
(iii) 곱의 켤레: 먼저 $zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$ 이므로 $\overline{zw} = (ac - bd) - (ad + bc)i$ . 한편 $\bar{z}\,\bar{w} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$ . 두 계산이 일치하므로 $\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}$ 입니다.
(i) 절댓값의 곱: (iii)과 (iv)를 이용하면 $|zw|^2 = (zw)\,\overline{(zw)} = (zw)(\bar{z}\bar{w}) = (z\bar{z})(w\bar{w}) = |z|^2 |w|^2 = (|z|\,|w|)^2$ . 양변 모두 $\ge 0$ 이므로 제곱근을 취하면 $|zw| = |z|\,|w|$ 입니다. ∎