정수와 유리수

정수는 자연수 순서쌍의 동치류

(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c

, 유리수는 정수 순서쌍의 동치류

(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc

로 얻어진다. "동치류로 수를 만든다"는 기술은 유리수에서 실수를 만들 때 다시 등장한다.

예제

$(a,b)\sim(a',b')$ 이고 $(c,d)\sim(c',d')$ 이라 하자. $(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')$ 임을 증명하세요. (덧셈 $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$ 이 대표원의 선택과 무관하게 잘 정의된다는 뜻이다.)

(a,b)\sim(a',b'),\ (c,d)\sim(c',d')

(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')

정수 모드 — 각 점은 순서쌍의 동치류이며, 대표원을 바꿔도 덧셈은 같다.

증명 보기

동치 관계의 정의에 따르면 $(a,b)\sim(a',b')$ 는 $a+b'=a'+b$ 를 뜻하고, $(c,d)\sim(c',d')$ 는 $c+d'=c'+d$ 를 뜻합니다.
두 등식을 변끼리 더하면 $(a+b')+(c+d')=(a'+b)+(c'+d)$ 를 얻습니다. 자연수 덧셈의 결합법칙과 교환법칙으로 항을 재배열하면 $(a+c)+(b'+d')=(a'+c')+(b+d)$ 입니다.
이는 정확히 $(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')$ 의 정의입니다. 따라서 $[(a,b)]+[(c,d)]$ 의 값은 $(a,b)$ 와 $(c,d)$ 의 대표원을 어떻게 고르든 달라지지 않습니다 — $\mathbb{Z}$ 의 덧셈은 잘 정의됩니다.

유리수 $p<q$ 에 대해 $m=\frac{p+q}{2}$ 가 유리수이고 $p<m<q$ 임을 증명하세요.

p<q \implies p<\frac{p+q}{2}<q

유리수 모드, 최대 분모 4 — 어떤 두 유리수 사이에도 점이 하나 더 있다.

증명 보기

$p=\frac{a}{b}$ , $q=\frac{c}{d}$ 라 두자 ( $b>0,\ d>0$ ). 그러면 $m=\frac{p+q}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}$ 이며, 분자와 분모가 정수이고 분모가 0이 아니므로 $m$ 은 유리수입니다.
$p<q$ 이므로 양변에 $p$ 를 더하면 $2p<p+q$ 를 얻고, 양의 수 $2$ 로 나누면 부등호의 방향이 유지되어 $p<\frac{p+q}{2}=m$ 입니다.
마찬가지로 $p<q$ 의 양변에 $q$ 를 더하면 $p+q<2q$ , 즉 $m<q$ 입니다. 따라서 $p<m<q$ — 어떤 두 유리수 사이에도 항상 또 다른 유리수가 있으므로, 유리수는 "빽빽하다"(조밀하다)고 합니다. 정수에서는 성립하지 않는 성질입니다 (연속된 정수 사이에는 정수가 없습니다).

0이 아닌 유리수 $\frac{a}{b}$ 에 대해 $\frac{b}{a}$ 가 그 곱셈 역원임을 증명하고, 이를 통해 $\mathbb{Q}$ 가 체(field)임을 설명하세요.

\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\qquad(a\ne 0)

유리수 모드, 최대 분모 4 — 0이 아닌 점은 모두 곱셈 역원을 가진다.

증명 보기

$\frac{a}{b}\ne 0$ 은 $a\ne 0$ 을 뜻합니다 ( $b\ne 0$ 은 유리수의 정의에 들어 있습니다). 따라서 분모가 $a\ne 0$ 인 분수 $\frac{b}{a}$ 는 정당한 유리수입니다.
분수 곱셈의 정의에 따라 $\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}$ 입니다. 곱셈의 교환법칙으로 $ab=ba$ 이므로 이 분수는 $\frac{ab}{ab}=1$ 과 같습니다. 즉 $\frac{b}{a}$ 는 $\frac{a}{b}$ 의 곱셈 역원입니다.
0이 아닌 모든 유리수가 역원을 가지므로, $\mathbb{Q}$ 에서는 0이 아닌 수로 나누기가 항상 가능합니다 — 잘 정의된 덧셈·곱셈과 함께 $\mathbb{Q}$ 는 체(field)가 됩니다. 체의 공리와 구조는 groups-fields 씬에서 다룹니다.

이 씬이 포함된 학습 경로

예제