1. 수의 체계

자연수에서 실수까지 — 수 체계를 공리부터 쌓아 올리고, 셀 수 있는 무한과 셀 수 없는 무한을 구분합니다.

• 자연수와 귀납법 — 자연수는 페아노 공리에서 출발한다: $P(1)$과 $P(k) \Rightarrow P(k+1)$이면 모든 자연수 $n$에 대해 $P(n)$이 성립한다 — 덧셈과 곱셈도 귀납적으로 정의되며, 이 원리 하나로 무한히 많은 명제를 한 번에 증명한다.
• 이항정리 — 이항정리 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$를 귀납법으로 증명한다 — 파스칼의 항등식 $\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}$이 귀납 단계를 이루고, 파스칼 삼각형의 행 $n$을 눈으로 확인한다.
• 정수와 유리수 — 정수는 자연수 순서쌍의 동치류 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$, 유리수는 정수 순서쌍의 동치류 $(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc$로 얻어진다. "동치류로 수를 만든다"는 기술은 유리수에서 실수를 만들 때 다시 등장한다.
• 집합과 함수 — 집합의 연산 $A \cup B$, $A \cap B$, $A^c$와 드모르간 법칙, 그리고 단사·전사·전단사를 그림으로 확인합니다.
• 상한과 완비성 — 위로 유계인 집합은 가장 작은 상한 $\sup S$를 갖습니다 — 실수의 빈틈을 메우는 공리, 유리수의 구멍 장면의 짝꿍입니다.
• 가산과 비가산 — 유리수는 한 줄로 나열할 수 있지만 실수는 그럴 수 없습니다 — 칸토어의 대각선 논법으로 확인합니다.
• 군과 체 — 군은 되돌릴 수 있는 움직임(결합·항등원·역원), 체는 사칙연산이 되는 세계입니다. 부분군 판정법과 $(\mathbb{Z},+)$ vs $(\mathbb{Q},+,\times)$의 차이를 봅니다.
• 벡터공간과 동형 — 벡터공간은 체 위의 아벨군에 스칼라곱을 얹은 구조입니다 — $\mathbb{R}^n$, 수열공간, 연속함수공간은 포장만 다를 뿐 같은 구조입니다. 계수 $(a, b)$를 움직이면 직선 $y = a+bx$와 점 $(a, b)$가 함께 움직입니다.
• 차원과 랭크 — 동형이 "같은 구조"라면, 차원과 랭크는 그 구조의 크기를 재는 자입니다. 격자가 행렬에 눌려 펴지는 모습을 보며 $\dim\ker T + \mathrm{rank}\,T = \dim V$를 확인합니다.