Hadamard 간극 정리
항 사이 간격이 점점 벌어지는 급수의 경계 행동을 봅니다.
지수가 1, 2, 4, 8처럼 두 배씩 뛰면 빈칸이 커집니다. 그 빈칸 때문에 수렴원 위의 어느 점으로도 이어질 수 없습니다. 원 안에서는 멀쩡히 수렴하는데도 그렇습니다. 간격 없는 비교 급수는 얌전히 행동합니다.
예를 들면, 🪜 계단 칸이 1, 2, 4, 8칸씩 벌어지는 계단과 같아요. 처음에는 잘 오르지만, 나중에는 한 칸이 너무 멀어 벽 끝까지 닿을 수 없어요.
n k + 1 n k = 2 k + 1 2 k = 2 > 1 , 1 R = lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n = 1 \frac{n_{k+1}}{n_k} = \frac{2^{k+1}}{2^k} = 2 > 1, \qquad \frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = 1 n k n k + 1 = 2 k 2 k + 1 = 2 > 1 , R 1 = n → ∞ lim sup ∣ a n ∣ 1/ n = 1 max θ ∣ S 12 ( 0.99 e i θ ) ∣ ≈ 6.3139 \max_\theta |S_{12}(0.99\,e^{i\theta})| \approx 6.3139 θ max ∣ S 12 ( 0.99 e i θ ) ∣ ≈ 6.3139 예제
f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^{2^k} f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n , a n = 1 ( n = 2 k ) , a n = 0 otherwise f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, \qquad a_n = 1\ (n = 2^k),\; a_n = 0\ \text{otherwise} f ( z ) = n = 0 ∑ ∞ a n z n , a n = 1 ( n = 2 k ) , a n = 0 otherwise 1 R = lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n = 1 ⇒ R = 1 \frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \lvert a_n \rvert^{1/n} = 1 \;\Rightarrow\; R = 1 R 1 = n → ∞ lim sup ∣ a n ∣ 1/ n = 1 ⇒ R = 1 N = 5 N = 5 N = 5 z = 0.5 z = 0.5 z = 0.5 S 5 ( 0.5 ) ≈ 0.81642150902 S_5(0.5) \approx 0.81642150902 S 5 ( 0.5 ) ≈ 0.81642150902 증명 보기
f ( z ) f(z) f ( z ) ∑ n = 0 ∞ a n z n \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n ∑ n = 0 ∞ a n z n n = 2 k n = 2^k n = 2 k a n = 1 a_n = 1 a n = 1 a n = 0 a_n = 0 a n = 0 1 R = lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n \frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \lvert a_n \rvert^{1/n} R 1 = lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1/ n 1 / 0 = ∞ 1/0 = \infty 1/0 = ∞ 1 / ∞ = 0 1/\infty = 0 1/∞ = 0
모든 n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1 ∣ a n ∣ 1 / n ≤ 1 \lvert a_n \rvert^{1/n} \le 1 ∣ a n ∣ 1/ n ≤ 1 n = 0 n = 0 n = 0 1 / n 1/n 1/ n lim sup ≤ 1 \limsup \le 1 lim sup ≤ 1
반대로 부분수열 n = 2 k n = 2^k n = 2 k k ≥ 1 k \ge 1 k ≥ 1 ∣ a 2 k ∣ 1 / 2 k = 1 1 / 2 k = 1 \lvert a_{2^k} \rvert^{1/2^k} = 1^{1/2^k} = 1 ∣ a 2 k ∣ 1/ 2 k = 1 1/ 2 k = 1 lim sup ≥ 1 \limsup \ge 1 lim sup ≥ 1
따라서 lim sup = 1 \limsup = 1 lim sup = 1 R = 1 R = 1 R = 1
따라서 ∣ z ∣ < 1 \lvert z \rvert < 1 ∣ z ∣ < 1 ∣ z ∣ > 1 \lvert z \rvert > 1 ∣ z ∣ > 1 z 2 k z^{2^k} z 2 k ∣ z ∣ 2 k → ∞ \lvert z \rvert^{2^k} \to \infty ∣ z ∣ 2 k → ∞ ∣ z ∣ = 1 \lvert z \rvert = 1 ∣ z ∣ = 1
T ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + 1 ) 2 T(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{(k+1)^2} T ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) 2 z k ∣ z ∣ ≤ 1 \lvert z \rvert \le 1 ∣ z ∣ ≤ 1
간극 급수와 달리 이 합은 닫힌 원판에서 연속이므로 ∣ z ∣ = 1 \lvert z \rvert = 1 ∣ z ∣ = 1
∣ z k ( k + 1 ) 2 ∣ ≤ 1 ( k + 1 ) 2 = M k , ∑ k = 0 ∞ M k = π 2 6 < ∞ \left\lvert \frac{z^k}{(k+1)^2} \right\rvert \le \frac{1}{(k+1)^2} = M_k, \quad \sum_{k=0}^{\infty} M_k = \frac{\pi^2}{6} < \infty ( k + 1 ) 2 z k ≤ ( k + 1 ) 2 1 = M k , k = 0 ∑ ∞ M k = 6 π 2 < ∞ max θ ∣ T 200 ( 0.99 e i θ ) ∣ ≈ 1.6045 < 1.65 < π 2 6 \max_\theta \lvert T_{200}(0.99\,e^{i\theta}) \rvert \approx 1.6045 < 1.65 < \frac{\pi^2}{6} θ max ∣ T 200 ( 0.99 e i θ )∣ ≈ 1.6045 < 1.65 < 6 π 2 N = 12 N = 12 N = 12 T 12 T_{12} T 12 max θ ∣ T 12 ∣ ≈ 1.5551 \max_\theta \lvert T_{12} \rvert \approx 1.5551 max θ ∣ T 12 ∣ ≈ 1.5551 증명 보기
∣ z ∣ ≤ 1 \lvert z \rvert \le 1 ∣ z ∣ ≤ 1 ∣ z k / ( k + 1 ) 2 ∣ ≤ 1 / ( k + 1 ) 2 = : M k \left\lvert z^k/(k+1)^2 \right\rvert \le 1/(k+1)^2 =: M_k z k / ( k + 1 ) 2 ≤ 1/ ( k + 1 ) 2 =: M k ∑ M k = ∑ k = 1 ∞ 1 / k 2 = π 2 / 6 < ∞ \sum M_k = \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6 < \infty ∑ M k = ∑ k = 1 ∞ 1/ k 2 = π 2 /6 < ∞ ∑ z k / ( k + 1 ) 2 \sum z^k/(k+1)^2 ∑ z k / ( k + 1 ) 2 ∣ z ∣ ≤ 1 \lvert z \rvert \le 1 ∣ z ∣ ≤ 1
각 부분합은 다항식이므로 연속이고, 연속함수들의 균등극한은 연속이므로, 합 T ( z ) T(z) T ( z )
즉 T T T ∣ z ∣ = 1 \lvert z \rvert = 1 ∣ z ∣ = 1
이것이 이 증명이 보이는 전부입니다: continuity만으로 analytic extension이나 analytic singularity의 부재가 따라오지는 않습니다 (예: T ( z ) = L i 2 ( z ) / z T(z) = \mathrm{Li}_2(z)/z T ( z ) = Li 2 ( z ) / z z = 1 z = 1 z = 1 L i 2 \mathrm{Li}_2 Li 2
T ( z ) T(z) T ( z ) ∑ z 2 k \sum z^{2^k} ∑ z 2 k max θ ∣ T 200 ( 0.99 e i θ ) ∣ ≈ 1.6045 < π 2 / 6 ≈ 1.6449 \max_\theta \lvert T_{200}(0.99\,e^{i\theta}) \rvert \approx 1.6045 < \pi^2/6 \approx 1.6449 max θ ∣ T 200 ( 0.99 e i θ )∣ ≈ 1.6045 < π 2 /6 ≈ 1.6449
Hadamard 간극 정리의 핵심 아이디어를 2–3단계로 스케치하세요: 경계 너머로 정칙 확장된다고 가정하면 간극이 어떻게 모순을 강제하는지 설명하세요.
이것은 완전한 증명이 아니라 아이디어의 스케치임을 답안에 명시하세요.
s k ( z ) = ∑ j = 0 k z 2 j , s k + 1 ( z ) − s k ( z ) = z 2 k + 1 s_k(z) = \sum_{j=0}^{k} z^{2^j}, \qquad s_{k+1}(z) - s_k(z) = z^{2^{k+1}} s k ( z ) = j = 0 ∑ k z 2 j , s k + 1 ( z ) − s k ( z ) = z 2 k + 1 ∣ z 0 ∣ > 1 ⇒ ∣ z 0 ∣ 2 k + 1 → ∞ \lvert z_0 \rvert > 1 \;\Rightarrow\; \lvert z_0 \rvert^{2^{k+1}} \to \infty ∣ z 0 ∣ > 1 ⇒ ∣ z 0 ∣ 2 k + 1 → ∞ N = 12 N = 12 N = 12 힌트 보기
귀류법을 시작합니다: f ( z ) = ∑ k ≥ 0 z 2 k f(z) = \sum_{k\ge 0} z^{2^k} f ( z ) = ∑ k ≥ 0 z 2 k ζ \zeta ζ ∣ ζ ∣ = 1 \lvert \zeta \rvert = 1 ∣ ζ ∣ = 1 ζ \zeta ζ D D D f f f D D D ∣ z ∣ < 1 \lvert z \rvert < 1 ∣ z ∣ < 1 D D D
[아이디어 — 여기서 증명하지 않는 단계] 간극이 강제하는 overconvergence: 부분합 s k ( z ) = ∑ j = 0 k z 2 j s_k(z) = \sum_{j=0}^{k} z^{2^j} s k ( z ) = ∑ j = 0 k z 2 j ∣ z ∣ < 1 \lvert z \rvert < 1 ∣ z ∣ < 1 f f f D ∩ { ∣ z ∣ < 1 } D \cap \{\lvert z \rvert < 1\} D ∩ {∣ z ∣ < 1 }
새 부분합은 항을 하나만 더하면서 차수는 두 배 (2 k + 1 = 2 ⋅ 2 k 2^{k+1} = 2\cdot 2^k 2 k + 1 = 2 ⋅ 2 k s k s_k s k D D D ∣ z ∣ > 1 \lvert z \rvert > 1 ∣ z ∣ > 1
이 보조정리가 기술적 핵심이며, 여기서는 증명하지 않습니다.
그러나 ∣ z 0 ∣ > 1 \lvert z_0 \rvert > 1 ∣ z 0 ∣ > 1 s k + 1 ( z 0 ) − s k ( z 0 ) = z 0 2 k + 1 s_{k+1}(z_0) - s_k(z_0) = z_0^{2^{k+1}} s k + 1 ( z 0 ) − s k ( z 0 ) = z 0 2 k + 1 ∣ z 0 2 k + 1 ∣ = ∣ z 0 ∣ 2 k + 1 → ∞ \lvert z_0^{2^{k+1}} \rvert = \lvert z_0 \rvert^{2^{k+1}} \to \infty ∣ z 0 2 k + 1 ∣ = ∣ z 0 ∣ 2 k + 1 → ∞ s k ( z 0 ) s_k(z_0) s k ( z 0 )
따라서 어떤 경계점에서도 정칙 확장은 불가능하고, 단위원 위의 모든 점이 특이점입니다.
다시 강조합니다: 이것은 증명의 아이디어(골격)이지 완전한 증명이 아닙니다.
8. 거듭제곱급수