감마함수

팩토리얼을 실수까지 늘인 함수를 봅니다. 정수에서는 계단처럼 뛰던 값이 매끄러운 곡선이 됩니다.

핵심 규칙은 한 칸 밀면 그 칸의 수가 곱해진다는 것입니다. 이 규칙이 정수 사이 값을 채웁니다. 넓이로 정의되는 적분이 그 곡선을 만듭니다.

예를 들면, 🪜 계단이 1, 2, 6, 24처럼 점프하는 사이에 미끄럼틀 같은 곡선을 끼워 넣은 거예요. 이제 계단 사이의 높이도 잴 수 있어요.

Γ(x)=∫0∞tx−1e−t dt(x>0)\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt \quad (x > 0)
Γ(x+1)=x Γ(x)\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

x>0x > 0에 대해 Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)를 부분적분으로 증명하세요.

Γ(x+1)=∫0∞txe−t dt=x Γ(x)\Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t}\,dt = x\,\Gamma(x)
x=2.5x = 2.5 — Γ(3.5)=2.5 Γ(2.5)\Gamma(3.5) = 2.5\,\Gamma(2.5).
증명 보기

  1. 이상적분이므로 먼저 0<ε<R<∞0 < \varepsilon < R < \infty인 구간 [ε,R][\varepsilon, R]에서 부분적분합니다. u=txu = t^x, dv=e−t dtdv = e^{-t}\,dt로 두면 du=xtx−1 dtdu = x t^{x-1}\,dt, v=−e−tv = -e^{-t}이므로 ∫εRtxe−t dt=[−txe−t]εR+x∫εRtx−1e−t dt\int_{\varepsilon}^{R} t^x e^{-t}\,dt = \left[-t^x e^{-t}\right]_{\varepsilon}^{R} + x \int_{\varepsilon}^{R} t^{x-1} e^{-t}\,dt를 얻습니다.

  2. ε→0+\varepsilon \to 0^+, R→∞R \to \infty 극한에서 경계항이 사라집니다: x>0x > 0이므로 εxe−ε→0\varepsilon^x e^{-\varepsilon} \to 0이고, Rxe−R→0R^x e^{-R} \to 0입니다 (지수함수가 다항식보다 빠르게 감소합니다). 따라서 [−txe−t]εR→0\left[-t^x e^{-t}\right]_{\varepsilon}^{R} \to 0이고, 양쪽 적분도 이상적분으로 수렴합니다.

  3. 따라서 Γ(x+1)=x∫0∞tx−1e−t dt=x Γ(x)\Gamma(x+1) = x \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt = x\,\Gamma(x)입니다.

Γ(1)=1\Gamma(1) = 1임을 보이고, 이로부터 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!을 증명하세요.

Γ(1)=∫0∞e−t dt=1,Γ(n+1)=n!\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = 1, \quad \Gamma(n+1) = n!
x=1x = 1 — Γ(1)=1\Gamma(1) = 1.
증명 보기

  1. Γ(1)=∫0∞e−t dt=[−e−t]0∞=0−(−1)=1\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \left[-e^{-t}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1입니다.

  2. 앞 문제의 함수방정식으로 귀납법을 적용합니다.

    Base case는 n=0n = 0일 때 Γ(1)=1=0!\Gamma(1) = 1 = 0!이며, 동등하게 Γ(1)=0!\Gamma(1) = 0!로 base를 잡을 수도 있습니다.

    귀납 단계는 n≥1n \ge 1에서만 적용합니다.

  3. n≥1n \ge 1에서 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!이라 가정하면, 함수방정식을 x=n≥1>0x = n \ge 1 > 0에 적용할 수 있으므로 Γ(n+1)=n Γ(n)=n (n−1)!=n!\Gamma(n+1) = n\,\Gamma(n) = n\,(n-1)! = n!입니다 (x=0x = 0에서는 함수방정식도 (−1)!(-1)!도 정의되지 않으므로 이 단계를 n=0n = 0에 적용하지 않습니다). 따라서 모든 n≥0n \ge 0에 대해 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!입니다.

Γ(x)\Gamma(x)를 정의하는 이상적분이 모든 x>0x > 0에서 수렴함을 증명하세요.

∫01tx−1e−t dt≤∫01tx−1 dt=1x\int_0^1 t^{x-1}e^{-t}\,dt \le \int_0^1 t^{x-1}\,dt = \frac1x
x=0.5x = 0.5 — 0 근처에서도 수렴.
증명 보기

  1. 적분을 t=1t = 1에서 둘로 나눕니다.

    (0,1](0, 1]에서는 e−t≤1e^{-t} \leq 1이므로 0<tx−1e−t≤tx−10 < t^{x-1}e^{-t} \leq t^{x-1}입니다.

    ∫01tx−1 dt=1x\int_0^1 t^{x-1}\,dt = \frac1x는 x>0x > 0일 때 유한하므로, 비교판정법으로 ∫01tx−1e−t dt\int_0^1 t^{x-1}e^{-t}\,dt가 수렴합니다.

  2. [1,∞)[1, \infty)에서는 tx−1e−t=(tx−1e−t/2) e−t/2t^{x-1}e^{-t} = \bigl(t^{x-1}e^{-t/2}\bigr)\,e^{-t/2}라 씁니다.

    g(t)=tx−1e−t/2g(t) = t^{x-1}e^{-t/2}는 [1,∞)[1, \infty)에서 연속이고 t→∞t \to \infty에서 00으로 가므로 유계입니다: g(t)<1g(t) < 1이 되는 RR을 잡으면 [1,R][1, R]에서는 extreme value theorem으로 maximum을 갖고, [R,∞)[R, \infty)에서는 11 이하입니다.

    gg가 양의 값을 가지므로 이 maximum은 실제로 attained maximum이며, M=max⁡t≥1tx−1e−t/2<∞M = \max_{t \geq 1} t^{x-1}e^{-t/2} < \infty라 두면 tx−1e−t≤Me−t/2t^{x-1}e^{-t} \leq M e^{-t/2}입니다.

  3. ∫1∞e−t/2 dt=2e−1/2≈1.213<∞\int_1^\infty e^{-t/2}\,dt = 2e^{-1/2} \approx 1.213 < \infty이므로 비교판정법으로 ∫1∞tx−1e−t dt\int_1^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt가 수렴합니다. 두 구간 모두 수렴하므로 Γ(x)\Gamma(x)는 모든 x>0x > 0에서 잘 정의됩니다.

11. 적분