부분수열: 순서를 지켜 뽑기

수열에서 순서를 지키며 항을 뽑아낸 새 수열을 봅니다. 그것이 부분수열입니다.

번호가 엄격히 커지기만 하면 됩니다. 항을 건너뛰어도 순서는 바꿀 수 없습니다. 원래 수열이 수렴하면 모든 부분수열도 같은 값으로 수렴합니다. 거꾸로 두 부분수열이 서로 다른 값으로 가면 원래 수열은 발산합니다.

예를 들면, 🚃 급행열차는 모든 역에 서지 않습니다. 서는 역만 순서대로 이으면 완행 노선의 부분수열 같은 그림이 됩니다.

n1<n2<n3<⋯ ,(ank)k=1∞n_1 < n_2 < n_3 < \cdots, \qquad (a_{n_k})_{k=1}^{\infty}
an→L ⟹ ank→La_n \to L \ \Longrightarrow \ a_{n_k} \to L

예제

an→La_n \to L이면 모든 부분수열 anka_{n_k}도 LL로 수렴함을 완전히 증명하세요.

an→L ⟹ ank→La_n \to L \ \Longrightarrow \ a_{n_k} \to L
뽑아낸 짝수 항들도 자기 무리의 극한으로 갑니다.
증명 보기

  1. 먼저 번호의 성질: n1<n2<⋯n_1 < n_2 < \cdots는 자연수에서 엄격히 증가하므로 모든 kk에 대해 nk≥kn_k \ge k입니다. kk에 대한 귀납법으로 봅니다: n1≥1n_1 \ge 1이고, nk+1≥nk+1≥k+1n_{k + 1} \ge n_k + 1 \ge k + 1입니다.

  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면, an→La_n \to L이므로 어떤 NN이 있어 n>Nn > N이면 ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon입니다. k>Nk > N이면 nk≥k>Nn_k \ge k > N이라 ∣ank−L∣<ε|a_{n_k} - L| < \varepsilon입니다.

  3. 같은 NN이 부분수열에도 통합니다. 따라서 ank→La_{n_k} \to L입니다.

수열 an=(−1)n+1na_n = (-1)^n + \frac{1}{n}의 짝수 부분수열과 홀수 부분수열의 극한을 각각 구하고, 원래 수열이 발산함을 완전히 증명하세요.

a2k=1+12k→1,a2k−1=−1+12k−1→−1a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} \to 1, \qquad a_{2k - 1} = -1 + \frac{1}{2k - 1} \to -1
두 무리가 갈라지는 전체 그림입니다.
증명 보기

  1. 짝수 항: a2k=1+12ka_{2k} = 1 + \frac{1}{2k}이고 12k→0\frac{1}{2k} \to 0이므로 a2k→1a_{2k} \to 1입니다. 홀수 항: a2k−1=−1+12k−1a_{2k - 1} = -1 + \frac{1}{2k - 1}이고 12k−1→0\frac{1}{2k - 1} \to 0이므로 a2k−1→−1a_{2k - 1} \to -1입니다.

  2. 원래 수열이 어떤 LL로 수렴한다면, 앞 문제로 모든 부분수열이 LL로 수렴해야 합니다. 그런데 짝수 부분수열은 1로, 홀수 부분수열은 −1-1로 갑니다. 1≠−11 \ne -1이라 둘 다 LL일 수 없습니다.

  3. 모순이므로 원래 수열은 어떤 값으로도 수렴하지 않습니다. 발산합니다.

a2k→La_{2k} \to L이고 a2k−1→La_{2k - 1} \to L이면 an→La_n \to L임을 완전히 증명하세요.

a2k→L, a2k−1→L ⟹ an→La_{2k} \to L, \ a_{2k - 1} \to L \ \Longrightarrow \ a_n \to L
홀수 항들도 같은 값으로 가면, 전체가 따라갑니다.
증명 보기

  1. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면, 짝수 부분수열의 수렴으로 어떤 K1K_1이 있어 k>K1k > K_1이면 ∣a2k−L∣<ε|a_{2k} - L| < \varepsilon이고, 홀수 부분수열의 수렴으로 어떤 K2K_2가 있어 k>K2k > K_2이면 ∣a2k−1−L∣<ε|a_{2k - 1} - L| < \varepsilon입니다.

  2. N=2max⁡(K1,K2)N = 2 \max(K_1, K_2)라 두자. n>Nn > N인 항은 짝수거나 홀수입니다. n=2kn = 2k이면 k>K1k > K_1이라 조건이 성립하고, n=2k−1n = 2k - 1이면 k>K2k > K_2라 성립합니다. 어느 쪽이든 ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon입니다.

  3. ε\varepsilon은 임의였으므로 an→La_n \to L입니다.

3. 수열