유계: 울타리 안에 갇힌 수열

수열의 모든 항을 한 번에 가두는 울타리가 있는지 봅니다. 울타리가 있으면 유계입니다.

울타리는 항마다 바뀌면 안 됩니다. 하나의 수 MM이 모든 항에 대해 ∣an∣≤M|a_n| \le M을 만족해야 합니다. 수렴하는 수열은 항상 유계입니다. 하지만 유계라고 다 수렴하지는 않습니다. (−1)n(-1)^n은 울타리 안에서 왔다 갔다만 합니다.

예를 들면, 🐑 양이 울타리 안에서 이리저리 돌아다닙니다. 아무리 돌아다녀도 울타리 밖으로는 나가지 않습니다. 수열의 유계도 그 그림입니다.

∃M>0, ∀n: ∣an∣≤M\exists M > 0, \ \forall n: \ |a_n| \le M

예제

수열 an=nn+1a_n = \frac{n}{n + 1}이 유계임을 보이고, 그 상한이 1이며 어떤 항도 1에 도달하지 않음을 완전히 증명하세요.

0<nn+1<1,sup⁡nan=10 < \frac{n}{n + 1} < 1, \qquad \sup_n a_n = 1
1에 다가가지만 닿지는 않습니다.
증명 보기

  1. 유계성: n≥1n \ge 1이면 0<n<n+10 < n < n + 1이라 0<an<10 < a_n < 1입니다. 따라서 모든 항이 ∣an∣≤1|a_n| \le 1을 만족해 유계입니다.

  2. 1이 상계 중 가장 작음: ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 아르키메데스 성질로 1ε<n+1\frac{1}{\varepsilon} < n + 1인 nn이 있습니다. 그 nn에 대해 an=1−1n+1>1−εa_n = 1 - \frac{1}{n + 1} > 1 - \varepsilon입니다. 즉 1보다 작은 수는 상계가 될 수 없습니다.

  3. 따라서 sup⁡an=1\sup a_n = 1입니다. 그리고 모든 항이 an<1a_n < 1이라 상한에 도달하는 항은 없습니다.

수렴하는 수열은 항상 유계임을 완전히 증명하세요.

an→L ⟹ (an) is boundeda_n \to L \ \Longrightarrow \ (a_n) \text{ is bounded}
수렴하는 예 — 꼬리는 극한 근처에 갇히고, 머리는 유한 개뿐입니다.
증명 보기

  1. an→La_n \to L이라 하자. ε=1\varepsilon = 1로 수렴의 정의를 적용하면 어떤 NN이 있어 n>Nn > N인 모든 항은 ∣an−L∣<1|a_n - L| < 1, 즉 ∣an∣<∣L∣+1|a_n| < |L| + 1을 만족합니다. 꼬리는 가둬졌습니다.

  2. 머리는 유한합니다: a1,…,aNa_1, \dots, a_N은 유한 개라 M0=max⁡(∣a1∣,…,∣aN∣)M_0 = \max(|a_1|, \dots, |a_N|)이 존재합니다.

  3. M=max⁡(M0,∣L∣+1)M = \max(M_0, |L| + 1)로 두면 머리 항도 꼬리 항도 모두 ∣an∣≤M|a_n| \le M을 만족합니다. 따라서 수열은 유계입니다.

수열 an=(−1)na_n = (-1)^n은 유계이지만 수렴하지 않음을 완전히 증명하세요.

∣an∣=1 ∀n,an↛L ∀L|a_n| = 1 \ \forall n, \qquad a_n \not\to L \ \forall L
울타리 안에서는 왔다 갔다만 합니다.
증명 보기

  1. 유계성: 모든 항이 ∣an∣=1|a_n| = 1이라 M=1M = 1이 울타리입니다.

  2. 수렴하지 않음: 어떤 실수 LL로 수렴한다고 가정하자. 이웃한 두 항은 ∣an+1−an∣=2|a_{n + 1} - a_n| = 2입니다. 그런데 수렴하면 ε=12\varepsilon = \frac{1}{2}에 대해 어떤 NN 뒤의 모든 항은 LL에서 12\frac{1}{2} 안에 들어갑니다. 그러면 이웃한 두 항 사이의 거리는 삼각부등식으로 ∣an+1−an∣≤∣an+1−L∣+∣L−an∣<1|a_{n + 1} - a_n| \le |a_{n + 1} - L| + |L - a_n| < 1이어야 합니다.

  3. 2<12 < 1일 수는 없으므로 모순입니다. 어떤 LL로도 수렴하지 않습니다. 유계이지만 수렴하지 않는 수열이 존재합니다.

3. 수열