내적: 얼마나 겹치는가

두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하는지 봅니다. 그 겹침을 재는 규칙이 내적입니다.

내적은 세 가지 약속을 지킵니다. 자리를 바꿔도 같습니다. 합과 상수배는 그대로 풀립니다. 자기 자신과의 내적은 길이의 제곱입니다. 그래서 내적이 있으면 노름이 따라옵니다. 내적이 0이면 두 벡터는 수직입니다.

예를 들면, 📦 상자를 두 사람이 밉니다. 같은 방향으로 밀면 힘이 온전히 합쳐집니다. 수직으로 밀면 앞으로 가는 데는 아무 도움이 안 됩니다. 내적은 그 합쳐지는 몫을 재는 셈입니다.

⟨x,y⟩=x1y1+x2y2\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2
⟨x,x⟩=∥x∥2\langle x, x \rangle = \|x\|^2
⟨x,y⟩=∥x∥ ∥y∥cos⁡θ\langle x, y \rangle = \|x\| \, \|y\| \cos\theta

예제

x=(1,2)x = (1, 2), y=(3,−1)y = (3, -1)에 대해 ⟨x,y⟩\langle x, y \rangle, ∥x∥\|x\|, ∥y∥\|y\|, 그리고 두 벡터 사이 각도의 코사인을 계산하세요. 두 벡터는 수직입니까?

⟨x,y⟩=x1y1+x2y2,cos⁡θ=⟨x,y⟩∥x∥ ∥y∥\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2, \qquad \cos\theta = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|}
문제의 두 벡터 그대로입니다.
증명 보기

  1. ⟨x,y⟩=1⋅3+2⋅(−1)=3−2=1\langle x, y \rangle = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1입니다.

  2. ∥x∥=12+22=5\|x\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}이고, ∥y∥=32+(−1)2=10\|y\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}입니다.

  3. cos⁡θ=15⋅10=150=152≈0.1414\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \approx 0.1414입니다. 내적이 0이 아니므로 두 벡터는 수직이 아닙니다. 양수라 예각입니다.

R2\mathbb{R}^2의 표준 내적 ⟨x,y⟩=x1y1+x2y2\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2가 내적의 세 공리 (대칭성, 한쪽 슬롯에서의 선형성, 양의 정부호성)를 만족함을 완전히 증명하세요.

⟨x,y⟩=x1y1+x2y2\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2
e1,e2e_1, e_2 — 내적이 0인 수직 쌍입니다.
증명 보기

  1. 대칭성: 실수의 곱은 교환적이므로 ⟨y,x⟩=y1x1+y2x2=x1y1+x2y2=⟨x,y⟩\langle y, x \rangle = y_1 x_1 + y_2 x_2 = x_1 y_1 + x_2 y_2 = \langle x, y \rangle입니다.

  2. 선형성: x,x′,yx, x', y와 실수 aa에 대해 ⟨ax+x′,y⟩=(ax1+x1′)y1+(ax2+x2′)y2=a(x1y1+x2y2)+(x1′y1+x2′y2)=a⟨x,y⟩+⟨x′,y⟩\langle a x + x', y \rangle = (a x_1 + x_1') y_1 + (a x_2 + x_2') y_2 = a (x_1 y_1 + x_2 y_2) + (x_1' y_1 + x_2' y_2) = a \langle x, y \rangle + \langle x', y \rangle입니다. 분배법칙만으로 됩니다.

  3. 양의 정부호성: ⟨x,x⟩=x12+x22≥0\langle x, x \rangle = x_1^2 + x_2^2 \ge 0이고, 제곱합이 0인 경우는 x1=x2=0x_1 = x_2 = 0일 때뿐입니다. 세 공리가 모두 성립하므로 표준 내적은 내적입니다.

실수 내적공간에서 극화 항등식 ⟨x,y⟩=∥x+y∥2−∥x−y∥24\langle x, y \rangle = \frac{\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2}{4}가 성립함을 완전히 증명하세요.

⟨x,y⟩=∥x+y∥2−∥x−y∥24\langle x, y \rangle = \frac{\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2}{4}
x=(1,1)x = (1, 1), y=(1,0)y = (1, 0) — ∥x+y∥2=8\|x + y\|^2 = 8, ∥x−y∥2=4\|x - y\|^2 = 4라 내적은 1입니다.
증명 보기

  1. 노름을 내적으로 전개합니다: ∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=∥x∥2+2⟨x,y⟩+∥y∥2\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2이고, 마찬가지로 ∥x−y∥2=∥x∥2−2⟨x,y⟩+∥y∥2\|x - y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2입니다.

  2. 두 식을 빼면 노름 항이 상쇄됩니다: ∥x+y∥2−∥x−y∥2=4⟨x,y⟩\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 = 4\langle x, y \rangle.

  3. 4로 나누면 극화 항등식이 됩니다. 내적은 노름만으로 완전히 복원됩니다 — 노름이 내적을 결정한다는 뜻입니다.

3. 수열