노름: 길이를 재는 규칙

벡터의 길이를 어떻게 재는지 봅니다. 길이를 재는 규칙이 노름입니다.

규칙은 세 가지입니다. 길이는 음수가 아니고, 길이가 0인 벡터는 0뿐입니다. 벡터를 몇 배 하면 길이도 그만큼 배가 됩니다. 두 벡터를 합친 길이는 각 길이의 합을 넘지 않습니다. 이 마지막 규칙이 삼각부등식입니다. 자를 바꾸면 길이도 바뀝니다. 블록을 세는 자, 직선으로 재는 자, 왕의 움직임으로 재는 자가 다릅니다.

예를 들면, 🏙 바둑판 도시에서 한 블록 동쪽, 한 블록 북쪽으로 가면 직선으로는 대각선 한 번이지만 블록으로는 두 번 걸어야 합니다. 체스 왕은 대각선으로 한 번에 갑니다. 같은 이동인데 재는 자에 따라 길이가 2, 약 1.41, 1로 달라집니다.

∥x∥≥0,∥x∥=0  ⟺  x=0\|x\| \ge 0, \quad \|x\| = 0 \iff x = 0
∥ax∥=∣a∣ ∥x∥\|a x\| = |a| \, \|x\|
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|
∥x∥1=∣x1∣+∣x2∣,∥x∥2=x12+x22,∥x∥∞=max⁡(∣x1∣,∣x2∣)\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|, \quad \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}, \quad \|x\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|)

예제

벡터 \x = (3, 4)\에 대해 \\\|x\\|_1\, \\\|x\\|_2\, \\\|x\\|_\\infty\를 각각 계산하세요.

∥x∥1=∣x1∣+∣x2∣,∥x∥2=x12+x22,∥x∥∞=max⁡(∣x1∣,∣x2∣)\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|, \qquad \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}, \qquad \|x\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|)
(3,4)(3, 4)를 2로 나눈 벡터 (1.5,2)(1.5, 2) — 동차성으로 길이는 절반이 됩니다.
증명 보기

  1. \\\|x\\|_1 = |3| + |4| = 7\입니다.

  2. \\\|x\\|_2 = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5\입니다.

  3. \\\|x\\|_\\infty = \\max(|3|, |4|) = 4\입니다. 같은 벡터인데 자가 바뀌면 길이가 7, 5, 4로 달라집니다.

노름의 공리로부터 역삼각부등식 \|\\|x\\| - \\|y\\|| \\le \\|x - y\\|\를 완전히 증명하세요.

∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥|\|x\| - \|y\|| \le \|x - y\|
x = (1, 1)\, y=(0.5,0.5)y = (0.5, 0.5) — 같은 방향이라 길이의 차가 그대로 드러납니다.
증명 보기

  1. \x = (x - y) + y\이므로 삼각부등식으로 \\\|x\\| \\le \\|x - y\\| + \\|y\\|\입니다. 정리하면 \\\|x\\| - \\|y\\| \\le \\|x - y\\|\입니다.

  2. \x\와 \y\의 역할을 바꾸면 \\\|y\\| - \\|x\\| \\le \\|y - x\\|\입니다. 그런데 \\\|y - x\\| = \\|(-1)(x - y)\\| = \\|x - y\\|\이므로 \\\|y\\| - \\|x\\| \\le \\|x - y\\|\도 성립합니다.

  3. 두 부등식을 합치면 \|\\|x\\| - \\|y\\|| = \\max(\\|x\\| - \\|y\\|, \\|y\\| - \\|x\\|) \\le \\|x - y\\|\입니다. 이것이 역삼각부등식입니다.

노름 \\\|\\cdot\\|\이 있는 벡터공간에서 \d(x, y) = \\|x - y\\|\라 두자. \d\가 거리공간의 공리를 모두 만족함을 완전히 증명하세요.

d(x,y)=∥x−y∥d(x, y) = \|x - y\|
x = (1, 1)\, y=0y = 0 — 두 점 사이의 거리는 차의 노름입니다.
증명 보기

  1. 음이 아님과 분리성: 노름의 첫째 공리로 \d(x, y) = \\|x - y\\| \\ge 0\이고, \d(x, y) = 0\은 \\\|x - y\\| = 0\과 동치이며, 이는 \x - y = 0\, 즉 \x = y\와 동치입니다.

  2. 대칭성: 노름의 둘째 공리로 \d(y, x) = \\|y - x\\| = \\|(-1)(x - y)\\| = |-1| \\|x - y\\| = \\|x - y\\| = d(x, y)\입니다.

  3. 삼각부등식: 노름의 셋째 공리로 \d(x, z) = \\|x - z\\| = \\|(x - y) + (y - z)\\| \\le \\|x - y\\| + \\|y - z\\| = d(x, y) + d(y, z)\입니다. 네 공리가 모두 성립하므로 \d\는 거리입니다.

3. 수열