순서체 | Real Analysis

순서를 넣을 수 있는 체와 넣을 수 없는 체를 가릅니다. 양의 원뿔 하나로 부등식의 규칙이 전부 나옵니다.

순서체는 체에 양수들의 모임, 양의 원뿔을 얹은 것입니다. 양수끼리 더해도 양수, 곱해도 양수여야 하고, 모든 수는 양수거나 0이거나 그 음수가 양수입니다. 유리수와 실수는 이 규칙을 만족하지만, 시계처럼 순환하는 세계는 만족할 수 없습니다.

예를 들면, 🕐 시계에서 1시간씩 일곱 번 가면 제자리로 돌아옵니다. 양의 걸음만으로 0에 닿는 세계에서는 크다, 작다를 정할 수 없습니다. 길이는 다릅니다. 양의 길이들을 어떻게 더해도 0이 되지 않습니다.

예제

순서체에서 모든 원소 $a$ 에 대해 $a^2 \ge 0$ 이고 $1 > 0$ 임을 양의 원뿔 공리로부터 완전히 증명하세요.

a \ne 0 \ \Longrightarrow \ a^2 > 0, \qquad 1 = 1^2 > 0

제곱은 음수가 될 수 없습니다.

증명 보기

$a > 0$ 인 경우: 양의 원뿔은 곱셈에 닫혀 있어 $a^2 = a \cdot a > 0$ 입니다. $a = 0$ 인 경우: $a^2 = 0$ 입니다.
$a < 0$ 인 경우: 삼분법으로 $-a > 0$ 이라 $(-a)^2 > 0$ 입니다. 그런데 $(-a)^2 = a^2$ 이므로 $a^2 > 0$ 입니다. 세 경우를 합치면 $a \ne 0$ 일 때 $a^2 > 0$ , 항상 $a^2 \ge 0$ 입니다.
$1 > 0$ : 체에서 $1 \ne 0$ 이고 $1 = 1^2$ 이므로 앞 결과로 $1 > 0$ 입니다.

$a < b$ 이면 임의의 $c$ 에 대해 $a + c < b + c$ 이고, $c > 0$ 이면 $ac < bc$ 임을 양의 원뿔 공리로부터 완전히 증명하세요.

a < b \iff b - a \in P

순서는 차이 하나로 판정됩니다.

증명 보기

정의로 $a < b$ 는 $b - a \in P$ 와 같습니다. 한편 $(b + c) - (a + c) = b - a \in P$ 이므로 $a + c < b + c$ 입니다.
$c > 0$ 이면 원뿔이 곱셈에 닫혀 있어 $bc - ac = c(b - a) \in P$ 입니다. 따라서 $ac < bc$ 입니다.

복소수체 $\mathbb{C}$ 는 순서체가 될 수 없음을 완전히 증명하세요.

i^2 = -1, \qquad a \ne 0 \ \Longrightarrow \ a^2 > 0

순서를 넣을 수 없는 체는 복소수만이 아닙니다.

증명 보기

$\mathbb{C}$ 에 양의 원뿔 공리를 만족하는 순서가 있다고 가정합니다. $i \ne 0$ 이므로 제곱 결과에 의해 $i^2 > 0$ 이어야 합니다.
그런데 $i^2 = -1$ 입니다. 한편 $1 > 0$ 이므로 양변에 $-1$ 을 더하면 $0 > -1$ 입니다. 즉 $-1 > 0$ 이면서 $-1 < 0$ 이라 삼분법에 어긋나는 모순입니다.
따라서 어떤 양의 원뿔도 $\mathbb{C}$ 에 순서를 줄 수 없습니다.