아르키메데스 성질

아무리 작은 걸음이라도 반복하면 어떤 목표든 넘어섬을 봅니다. 그것이 아르키메데스 성질입니다.

실수에는 무한히 작은 수가 없습니다. 아무리 작은 양수라도 충분히 여러 번 더하면 어떤 큰 수보다 커집니다. 이 사실이 없으면 ε\varepsilon-NN 논법에서 "충분히 큰 NN"을 잡을 수 없습니다. 증명은 상한 공리를 씁니다.

예를 들면, 🐜 개미의 한 걸음은 아주 작습니다. 하지만 개미가 걸음을 멈추지 않으면 축구장도 건너고, 지구 한 바퀴도 돕니다. 걸음의 크기가 아니라 횟수가 이깁니다.

∀a>0, ∀b∈R, ∃n∈N: na>b\forall a > 0, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}: \ na > b
∀ε>0, ∃n∈N: 1n<ε\forall \varepsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}: \ \frac{1}{n} < \varepsilon

예제

상한 공리로부터 아르키메데스 성질을 완전히 증명하세요: 임의의 a>0a > 0와 실수 bb에 대해 na>bna > b인 자연수 nn이 존재합니다.

∀a>0, ∀b∈R, ∃n∈N: na>b\forall a > 0, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}: \ na > b
걸음 0.5, 목표 5 — 11걸음이면 넘어섭니다.
증명 보기

  1. 모순을 가정합니다: 모든 자연수 nn에 대해 na≤bna \le b라고 하자. 그러면 집합 S={na:n∈N}S = \{na : n \in \mathbb{N}\}은 bb를 상계로 가져 비어 있지 않은 위로 유계인 집합입니다.

  2. 상한 공리로 s=sup⁡Ss = \sup S가 존재합니다. a>0a > 0이므로 s−a<ss - a < s이고, s−as - a는 상한보다 작아 SS의 상계가 아닙니다. 따라서 어떤 mm에 대해 ma>s−ama > s - a입니다.

  3. 양변에 aa를 더하면 (m+1)a>s(m + 1)a > s입니다. 그런데 (m+1)a∈S(m + 1)a \in S이므로 이는 ss가 SS의 상한, 특히 상계라는 사실과 모순입니다. 따라서 가정이 틀렸고, na>bna > b인 nn이 존재합니다.

아르키메데스 성질로부터, 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해 1n<ε\frac{1}{n} < \varepsilon인 자연수 nn이 존재함을 완전히 증명하세요.

∀ε>0, ∃n∈N: 1n<ε\forall \varepsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}: \ \frac{1}{n} < \varepsilon
걸음 0.25, 목표 1 — 5걸음이면 넘어섭니다. 15<0.25\frac{1}{5} < 0.25에 해당합니다.
증명 보기

  1. ε>0\varepsilon > 0을 걸음으로, b=1b = 1을 목표로 아르키메데스 성질을 적용합니다: nε>1n\varepsilon > 1인 자연수 nn이 존재합니다.

  2. n,εn, \varepsilon 모두 양수이므로 양변을 nεn\varepsilon로 나누면 1ε⋅ε=1\frac{1}{\varepsilon} \cdot \varepsilon = 1 쪽이 정리되어 1n<ε\frac{1}{n} < \varepsilon이 됩니다. 정확히는 nε>1n\varepsilon > 1을 nn으로 나누어 ε>1n\varepsilon > \frac{1}{n}입니다. 증명이 완료됩니다.

x≥0x \ge 0이고 모든 자연수 nn에 대해 x<1nx < \frac{1}{n}이면 x=0x = 0임을 완전히 증명하세요.

x≥0, (∀n) x<1n ⟹ x=0x \ge 0, \ (\forall n) \ x < \frac{1}{n} \ \Longrightarrow \ x = 0
걸음을 아무리 작게 해도 목표는 넘어섭니다 — 그 사이에 끼인 양수는 없습니다.
증명 보기

  1. 모순을 위해 x>0x > 0이라 가정합니다. ε=x\varepsilon = x로 앞 문제의 따름정리를 적용하면 1n<x\frac{1}{n} < x인 자연수 nn이 존재합니다.

  2. 그런데 가정에 의해 같은 nn에 대해 x<1nx < \frac{1}{n}입니다. 1n<x\frac{1}{n} < x이면서 x<1nx < \frac{1}{n}일 수는 없습니다. 모순이므로 x>0x > 0은 거짓이고, x≥0x \ge 0과 합치면 x=0x = 0입니다.

2. 수의 체계