절댓값: 0으로부터의 거리

수의 크기를 부호 없이 재는 법을 봅니다. 그것이 절댓값입니다.

수직선에서 절댓값은 0으로부터의 거리입니다. 양수는 그대로, 음수는 부호를 벗깁니다. 거리의 규칙이 그대로 성립합니다. 길이는 음수가 아니고, 두 점을 잇는 길이는 각 길이의 합을 넘지 않습니다. 이것이 삼각부등식입니다.

예를 들면, 🌡 영하 3도와 영상 3도는 0도에서 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 부호는 방향이고, 절댓값은 거리입니다.

예제

모든 실수 $x, y$ 에 대해 삼각부등식 $|x + y| \le |x| + |y|$ 가 성립함을 완전히 증명하세요.

|x + y| \le |x| + |y|

부호가 다른 경우 — 합이 한쪽을 상쇄해서 여유가 생깁니다.

증명 보기

양변 모두 음이 아니므로 제곱해서 비교합니다. $|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 입니다.
가운데 항을 가둡니다: $xy \le |xy| = |x| \, |y|$ 이므로 $|x + y|^2 \le |x|^2 + 2|x| \, |y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2$ 입니다.
음이 아닌 수에서는 제곱근이 순서를 지킵니다. 양변에 제곱근을 취하면 $|x + y| \le |x| + |y|$ 가 됩니다. 증명이 완료됩니다.

모든 실수 $x, y$ 에 대해 $\bigl| |x| - |y| \bigr| \le |x - y|$ 가 성립함을 완전히 증명하세요.

\bigl| |x| - |y| \bigr| \le |x - y|

같은 방향의 두 점 — 길이의 차가 거리를 넘지 않습니다.

증명 보기

$x = (x - y) + y$ 이므로 삼각부등식으로 $|x| \le |x - y| + |y|$ 입니다. 정리하면 $|x| - |y| \le |x - y|$ 입니다.
$x$ 와 $y$ 의 역할을 바꾸면 $|y| - |x| \le |y - x|$ 입니다. 그런데 $|y - x| = |x - y|$ 이므로 $|y| - |x| \le |x - y|$ 도 성립합니다.
두 부등식을 합치면 $\bigl| |x| - |y| \bigr| = \max(|x| - |y|, |y| - |x|) \le |x - y|$ 입니다. 증명이 완료됩니다.

부등식 $|x - 1| < 2$ 를 만족하는 모든 실수 $x$ 를 구하고, 그 동치를 완전히 증명하세요.

|x - 1| < 2 \iff -1 < x < 3

x = 1

— 중심점에서는 거리가 0입니다.

증명 보기

절댓값의 정의로, 음이 아닌 수 $a$ 와 $r > 0$ 에 대해 $|a| < r$ 인 것은 $-r < a < r$ 인 것과 동치입니다. 부호를 나눠 확인합니다: $a \ge 0$ 이면 $|a| = a$ 라 $a < r$ 이고 $-r < 0 \le a$ 라 성립하고, $a < 0$ 이면 $|a| = -a$ 라 $-a < r$ , 즉 $-r < a$ 이고 $a < 0 < r$ 이라 성립합니다.
$a = x - 1$ , $r = 2$ 로 적용하면 $|x - 1| < 2$ 는 $-2 < x - 1 < 2$ 와 동치입니다. 세 변에 1을 더하면 $-1 < x < 3$ 입니다.
따라서 해는 열린 구간 $(-1, 3)$ 입니다. 말로 하면, 1에서 거리가 2보다 가까운 점들의 모임입니다.