벡터공간과 동형

계수를 움직이면 직선과 점이 함께 움직이는 모습을 봅니다. 겉모습이 다른 공간들이 같은 구조임을 확인합니다.

벡터공간은 더하기와 늘리기·줄이기가 되는 세계입니다. 수의 쌍도, 다항식도, 함수도 같은 규칙을 따릅니다. 규칙이 같으면 두 세계는 사실상 같습니다. 한쪽의 계산을 다른 쪽으로 옮길 수 있기 때문입니다.

예를 들면, 요리 레시피를 카드에 적는 것과 같습니다. 카드의 숫자만 알면 요리를 그대로 재현할 수 있습니다. 직선도 기울기와 절편, 숫자 두 개로 적힙니다. 적은 쪽과 실제 쪽이 한 몸처럼 움직입니다.

(V,+) abelian over F,c(v+w)=cv+cw(V,+) \text{ abelian over } F,\qquad c(v+w) = cv + cw
Φ:P2→R3,a+bx+cx2↦(a,b,c)\Phi: P_2 \to \mathbb{R}^3,\quad a+bx+cx^2 \mapsto (a,b,c)

예제

실수 수열 전체의 집합 SS에 각 항별 덧셈 (x+y)n=xn+yn(x+y)_n = x_n + y_n과 스칼라곱 (cx)n=cxn(cx)_n = cx_n을 주면 벡터공간이 됨을 보이세요.

(x+y)n=xn+yn,(cx)n=cxn(x+y)_n = x_n + y_n,\qquad (cx)_n = cx_n
슬라이더 a=1a = 1, b=0.5b = 0.5 — 직선 y=1+0.5xy = 1 + 0.5x와 점 (1,0.5)(1, 0.5).
증명 보기

  1. 닫힘: x,y∈Sx, y \in S이면 x+y=(xn+yn)x + y = (x_n + y_n)의 각 항은 실수이므로 x+y∈Sx + y \in S입니다. 마찬가지로 cx=(cxn)cx = (cx_n)의 각 항도 실수이므로 cx∈Scx \in S입니다.

  2. 덧셈에 대해 (S,+)(S, +)는 아벨군입니다: 교환·결합법칙은 각 항에서 실수의 성질을 그대로 이어받고, 항등원은 영수열 (0,0,… )(0, 0, \dots)이며, xx의 역원은 (−xn)(-x_n)입니다.

  3. 스칼라곱의 결합법칙과 단위원도 각 항에서 성립합니다: (c(dx))n=c(dxn)=(cd)xn=((cd)x)n(c(dx))_n = c(dx_n) = (cd)x_n = ((cd)x)_n이며 (1x)n=1⋅xn=xn(1x)_n = 1 \cdot x_n = x_n입니다.

  4. 분배법칙은 수열 수준에서 직접 확인됩니다: (c(x+y))n=c(xn+yn)=cxn+cyn=(cx+cy)n(c(x+y))_n = c(x_n + y_n) = cx_n + cy_n = (cx + cy)_n이며, ((c+d)x)n=(c+d)xn=cxn+dxn=(cx+dx)n((c+d)x)_n = (c+d)x_n = cx_n + dx_n = (cx + dx)_n입니다. 따라서 SS는 R\mathbb{R} 위의 벡터공간입니다.

Φ(a,b)=a+bi\Phi(a, b) = a + bi가 실벡터공간으로서 R2\mathbb{R}^2에서 C\mathbb{C}로의 동형사상임을 증명하세요.

Φ(a,b)=a+bi,Ψ(a+bi)=(a,b)\Phi(a, b) = a + bi,\qquad \Psi(a + bi) = (a, b)
Φ(0,1)=i\Phi(0, 1) = i — 허수 단위 ii가 점 (0,1)(0, 1)에 대응합니다.
증명 보기

  1. 덧셈에 대한 선형성: Φ((a,b)+(c,d))=Φ(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=Φ(a,b)+Φ(c,d)\Phi((a,b) + (c,d)) = \Phi(a+c, b+d) = (a+c) + (b+d)i = (a+bi) + (c+di) = \Phi(a,b) + \Phi(c,d)입니다.

  2. 실수 스칼라에 대한 동차성: 실수 tt에 대해 Φ(t(a,b))=ta+tbi=t(a+bi)=tΦ(a,b)\Phi(t(a,b)) = ta + tbi = t(a+bi) = t\Phi(a,b)입니다. 스칼라가 실수라는 점이 중요합니다 — 이것이 실벡터공간으로서의 동형사상입니다.

  3. 단사: a+bi=c+dia + bi = c + di이면 복소수의 실수부·허수부가 유일하므로 a=ca = c, b=db = d입니다. 따라서 Φ\Phi는 단사입니다.

  4. 전사: Ψ(a+bi)=(a,b)\Psi(a+bi) = (a,b)라 두면 Ψ(Φ(a,b))=(a,b)\Psi(\Phi(a,b)) = (a,b)이고 Φ(Ψ(a+bi))=a+bi\Phi(\Psi(a+bi)) = a+bi이므로 Ψ\Psi는 Φ\Phi의 역함수입니다. 전단사인 선형사상이므로 Φ\Phi는 동형사상입니다.

선형 동형사상 T:V→WT: V \to W는 일차독립인 집합을 일차독립인 집합으로 보냄을 증명하세요.

∑i=1nci T(vi)=0  ⟹  c1=⋯=cn=0\sum_{i=1}^{n} c_i\,T(v_i) = 0 \;\Longrightarrow\; c_1 = \cdots = c_n = 0
슬라이더 a=1a = 1, b=−1b = -1 — 직선 y=1−xy = 1 - x와 점 (1,−1)(1, -1).
증명 보기

  1. {v1,…,vn}⊂V\{v_1, \dots, v_n\} \subset V가 일차독립이고 ∑ciT(vi)=0\sum c_i T(v_i) = 0이라 가정합니다. 선형성에 의해 ∑ciT(vi)=T(∑civi)\sum c_i T(v_i) = T(\sum c_i v_i)이므로 T(∑civi)=0T(\sum c_i v_i) = 0을 얻습니다.

  2. 선형사상은 영벡터를 영벡터로 보내므로 (T(0)=T(0⋅v)=0⋅T(v)=0T(0) = T(0 \cdot v) = 0 \cdot T(v) = 0), TT의 단사성에서 ∑civi=0\sum c_i v_i = 0을 얻습니다.

  3. {vi}\{v_i\}의 일차독립성에 의해 c1=⋯=cn=0c_1 = \cdots = c_n = 0입니다. 따라서 {T(v1),…,T(vn)}\{T(v_1), \dots, T(v_n)\}도 일차독립입니다.

  4. 임의의 (무한할 수 있는) 일차독립 집합으로의 축소: E⊆VE \subseteq V가 일차독립이라 둡니다. T(E)T(E)의 임의의 유한 부분집합은 {T(v1),…,T(vn)}\{T(v_1), \dots, T(v_n)\} (vi∈Ev_i \in E 서로 다름; TT가 단사이므로 상도 서로 다름) 꼴이며, {v1,…,vn}⊆E\{v_1, \dots, v_n\} \subseteq E가 일차독립이므로 위의 유한 경우에 의해 이 유한 부분집합도 일차독립입니다.

    집합이 일차독립이라는 것은 정확히 그 모든 유한 부분집합이 일차독립이라는 뜻이므로, T(E)T(E) 전체가 일차독립입니다.

2. 수의 체계