연속의 정의

상수함수 $c$: $\lvert c - c\rvert = 0 < \varepsilon$이므로 연속입니다. 항등함수 $x \mapsto x$: $\lvert x - a\rvert < \delta$에서 $\lvert x - a\rvert < \varepsilon$이 되도록 $\delta = \varepsilon$을 잡으면 됩니다.

(합) $f, g$가 $a$에서 연속이라 하자. $\varepsilon > 0$에 대해 $\lvert f(x) - f(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$인 $\delta_1$과 $\lvert g(x) - g(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$인 $\delta_2$를 잡고 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$라 두면, $\lvert (f+g)(x) - (f+g)(a)\rvert \leq \lvert f(x) - f(a)\rvert + \lvert g(x) - g(a)\rvert < \varepsilon$입니다.

(곱) 항등식 $\lvert f(x)g(x) - f(a)g(a)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert\cdot\lvert g(x) - g(a)\rvert + \lvert g(a)\rvert\cdot\lvert f(x) - f(a)\rvert$를 씁니다.

먼저 $f$를 $a$ 근처에서 가둡니다: $f$의 연속성에 의해 $\lvert x - a\rvert < \delta_0$이면 $\lvert f(x) - f(a)\rvert < 1$인 $\delta_0$가 존재하고, 그 안에서는 $\lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(a)\rvert + 1 =: M$입니다(국소 유계성).

이제 $\lvert g(x) - g(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2M}$인 $\delta_1$과 $\lvert f(x) - f(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2(\lvert g(a)\rvert + 1)}$인 $\delta_2$를 잡고 $\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \delta_2)$라 두면, $\lvert f(x)g(x) - f(a)g(a)\rvert < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + \lvert g(a)\rvert \cdot \frac{\varepsilon}{2(\lvert g(a)\rvert+1)} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$입니다.

귀납법으로 $x^n$이 연속임을 보입니다.

Base case: $n = 0$이면 $x^0 = 1$은 위에서 보인 상수함수라 연속이고, $n = 1$이면 $x^1 = x$는 위에서 보인 항등함수라 연속입니다.

Inductive step: $x^n$이 연속이라 가정하면 $x^{n+1} = x^n \cdot x$는 연속함수들의 곱이라 곱 규칙으로 연속입니다.

따라서 모든 $n \ge 0$에 대해 $x^n$이 연속입니다.

이어서 $c x^n$도 연속이며(상수 $\times$ 연속, 곱 규칙), 유한개의 항 $c_k x^k$들의 합인 임의의 다항식도 연속입니다(합 규칙을 유한 번 반복).

보일 것은 $\lvert x - 0\rvert < \delta \Rightarrow \lvert \lvert x\rvert - \lvert 0\rvert \rvert < \varepsilon$입니다. 그런데 $\lvert \lvert x\rvert - 0\rvert = \lvert x\rvert$이므로, 문제는 $\lvert x\rvert < \varepsilon$을 얻는 것으로 줄어듭니다.

$\delta = \varepsilon$이라 두면 $\lvert x - 0\rvert = \lvert x\rvert < \delta = \varepsilon$이 바로 원하는 부등식입니다. 따라서 $\lvert x\rvert$는 $0$에서 연속입니다.

[관점] 연속이 미분을 보장하지는 않습니다: $\lvert x\rvert$는 $0$에서 미분가능하지 않습니다. 연속은 "끊어지지 않음"일 뿐, "매끄러움"이 아닙니다.

$\varepsilon > 0$이 주어졌습니다. $g$가 $b = f(a)$에서 연속이므로, $\lvert y - b\rvert < \eta$이면 $\lvert g(y) - g(b)\rvert < \varepsilon$인 $\eta > 0$이 존재합니다.

이제 $f$의 연속성을 $\eta$에 적용합니다: $\lvert x - a\rvert < \delta$이면 $\lvert f(x) - f(a)\rvert < \eta$인 $\delta > 0$이 존재합니다.

$\lvert x - a\rvert < \delta$이면 $\lvert f(x) - b\rvert < \eta$이므로 $\lvert g(f(x)) - g(b)\rvert < \varepsilon$, 즉 $\lvert h(x) - h(a)\rvert < \varepsilon$입니다. 따라서 $h$는 $a$에서 연속입니다.

수치 예시: $g$가 $\eta = \frac{\varepsilon}{2}$를 요구하고 $f$가 그 $\eta$에 대해 $\delta = \frac{\eta}{2}$를 내놓으면, 합성은 $\delta = \frac{\varepsilon}{4}$로 동작합니다 — 허용 오차가 사슬을 따라 합성됩니다.