실수의 구성

유리수의 구멍을 메워 실수를 실제로 만드는 장면입니다. 실수 하나를 유리수 수열들의 묶음으로 정의합니다.

소수점 자릿수를 늘려 가면 유리수 항들이 구멍으로 모여듭니다. 서로의 차이가 사라지는 수열들은 같은 수로 취급합니다. 그 묶음 자체가 하나의 실수입니다. 이렇게 만들면 구멍이 없는 수직선이 완성됩니다. 완비성은 바로 이 구성에서 얻어집니다.

예를 들면, 🪜 계단을 한 칸씩 오르면 꼭대기에 가까워집니다. 1, 1.4, 1.41, 1.414는 꼭대기를 향한 발자국들입니다. 발자국의 행렬 전체가 곧 목적지인 실수입니다.

(xn)∼(yn)  ⟺  xn−yn→0(x_n) \sim (y_n) \iff x_n - y_n \to 0
2=[(1,1.4,1.41,1.414,… )]\sqrt{2} = [(1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots)]

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

2\sqrt{2}의 소수점 아래 nn자리에서 자른 값 xn=⌊2⋅10n⌋10nx_n = \frac{\lfloor \sqrt{2}\cdot 10^n \rfloor}{10^n}이라 하자. (xn)(x_n)이 유리수 코시수열임을 증명하세요.

∣xm−xn∣<10−N(m,n≥N)|x_m - x_n| < 10^{-N} \quad (m, n \geq N)
소수점 자르기, n=4n = 4 — 자릿수를 늘릴수록 항들이 구멍으로 모여든다.
증명 보기

  1. 각 xnx_n은 분모가 10n10^n인 분수이므로 유리수입니다. tn=⌊2⋅10n⌋t_n = \lfloor \sqrt{2}\cdot 10^n \rfloor이라 두면, m≥nm \geq n일 때 tm≥10m−ntnt_m \geq 10^{m-n} t_n이므로 xm≥xnx_m \geq x_n입니다 — 자릿수를 늘리면 값은 커지거나 그대로입니다.

  2. ⌊y⌋≤y<⌊y⌋+1\lfloor y \rfloor \leq y < \lfloor y \rfloor + 1에 y=2⋅10ny = \sqrt{2}\cdot 10^n을 대입하면 xn≤2<xn+10−nx_n \leq \sqrt{2} < x_n + 10^{-n}을 얻습니다. 즉 오차는 ∣xn−2∣<10−n\lvert x_n - \sqrt{2}\rvert < 10^{-n}입니다.

  3. m≥nm \geq n이면 0≤xm−xn<10−n0 \leq x_m - x_n < 10^{-n}입니다 (xm≤2x_m \leq \sqrt{2}와 위 부등식을 함께 씁니다). 따라서 m,n≥Nm, n \geq N일 때 ∣xm−xn∣<10−N→0\lvert x_m - x_n\rvert < 10^{-N} \to 0 — (xn)(x_n)은 유리수 코시수열입니다.

an=1+1na_n = 1 + \frac1n과 bn=1b_n = 1은 서로 다른 유리수 코시수열이지만 같은 실수를 정의함을 증명하세요.

an−bn=1n→0⟹[(an)]=[(bn)]=1a_n - b_n = \frac1n \to 0 \quad\Longrightarrow\quad [(a_n)] = [(b_n)] = 1
바빌로니아 수열 — 소수점 자르기와는 다른 수열이지만 같은 구멍 2\sqrt{2}로 모인다.
증명 보기

  1. 먼저 두 수열이 모두 유리수 코시수열임을 확인합니다 ([(an)]=[(bn)][(a_n)] = [(b_n)]라는 표기 자체가 이를 전제합니다).

    (bn)(b_n)은 상수수열이라 ∣bm−bn∣=0|b_m - b_n| = 0으로 자명히 코시입니다.

    (an)(a_n)에 대해서는 ∣am−an∣=∣1/m−1/n∣≤1/m+1/n|a_m - a_n| = |1/m - 1/n| \le 1/m + 1/n이므로, ε>0\varepsilon > 0에 대해 N>2/εN > 2/\varepsilon로 잡으면 m,n≥Nm, n \ge N일 때 ∣am−an∣<ε|a_m - a_n| < \varepsilon입니다 — (an)(a_n)도 코시입니다.

  2. 두 수열은 서로 다릅니다: 모든 nn에 대해 an−bn=1n≠0a_n - b_n = \frac1n \ne 0, 즉 an≠bna_n \ne b_n입니다 (수열로서는 항마다 다릅니다). 그런데 그 차이 1n→0\frac1n \to 0이므로, 동치 관계의 정의에 의해 (an)∼(bn)(a_n) \sim (b_n)입니다.

  3. 동치인 코시수열은 같은 동치류를 정의하므로 [(an)]=[(bn)][(a_n)] = [(b_n)]입니다. 겉모습은 다르지만 실수로는 하나입니다.

  4. 상수수열 (1,1,1,… )(1, 1, 1, \dots)의 동치류는 유리수 11 자체가 실수로 들어간 모습입니다. 따라서 [(an)]=1[(a_n)] = 1 — 수열 (1+1n)(1+\frac1n)이 "수렴하는 대상"이 실수 11입니다.

유리수 코시수열 (xn)(x_n), (yn)(y_n)에 대해 항별 합 (xn+yn)(x_n + y_n)도 코시수열임을 증명하세요.

∣(xm+ym)−(xn+yn)∣≤∣xm−xn∣+∣ym−yn∣|(x_m+y_m)-(x_n+y_n)| \leq |x_m-x_n| + |y_m-y_n|
소수점 자르기, n=5n = 5 — 코시수열끼리 더해도 코시수열이라 덧셈이 잘 정의된다.
증명 보기

  1. ε>0\varepsilon > 0이라 하자. (xn)(x_n)이 코시수열이므로 m,n≥N1⇒∣xm−xn∣<ε2m, n \geq N_1 \Rightarrow \lvert x_m - x_n\rvert < \frac{\varepsilon}{2}인 N1N_1이 있고, (yn)(y_n)에 대해서도 마찬가지로 N2N_2가 있습니다.

  2. 삼각부등식으로 ∣(xm+ym)−(xn+yn)∣≤∣xm−xn∣+∣ym−yn∣\lvert (x_m+y_m) - (x_n+y_n)\rvert \leq \lvert x_m - x_n\rvert + \lvert y_m - y_n\rvert입니다.

  3. N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)라 두면 m,n≥Nm, n \geq N일 때 우변은 ε2+ε2=ε\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon보다 작습니다.

    따라서 (xn+yn)(x_n + y_n)은 코시수열입니다. 대표원을 (xn′)∼(xn)(x'_n) \sim (x_n)으로 바꿔도 (xn+yn)−(xn′+yn)=(xn−xn′)→0(x_n+y_n) - (x'_n+y_n) = (x_n - x'_n) \to 0이므로 같은 동치류 — 덧셈은 대표원 선택과 무관하게 잘 정의됩니다.

3. 수열