Fejér 정리

울림 많은 푸리에 부분합들을 평균 내면 어떻게 되는지를 봅니다.

부분합들을 평균하면 혹들이 서로 상쇄됩니다. 평균의 핵은 양수이고 가운데에 뾰족하게 몰려 있습니다. 그래서 평균은 원래 함수에 전체 구간에서 한꺼번에 붙습니다.

예를 들면, 흔들린 📷 사진 여러 장을 겹치는 것과 같아요. 한 장 한 장의 출렁임이 겹침 속에서 서로 지워져 또렷해져요.

σN=S0+⋯+SN−1N→∥⋅∥∞f\sigma_N = \frac{S_0+\cdots+S_{N-1}}{N} \xrightarrow{\|\cdot\|_\infty} f
KN(t)=1N(sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2))2≥0K_N(t) = \frac1N\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0

예제

Fejér 핵 KN(t)=1N(sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2))2K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 (t≢0(mod2π)t \not\equiv 0 \pmod{2\pi}, KN(0)=NK_N(0) = N)에 대해 KN≥0K_N \ge 0이고 12π∫−ππKN=1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N = 1임을 증명하세요.

또한 σN(f)=12π(f∗KN)\sigma_N(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)임을 보이세요.

KN(t)=1N∑k=0N−1Dk(t)=1N(sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2))2≥0K_N(t) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0
12π∫−ππKN=1,σN(f)=12π(f∗KN)\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N = 1, \qquad \sigma_N(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)
N=8N = 8: 핵은 K8(0)=8K_8(0) = 8인 뾰족한 봉우리이고, σ8\sigma_8은 이미 매끈합니다 — 아래 증명이 이 봉우리가 질량 1인 이유입니다.
증명 보기

  1. Dirichlet 핵 Dk(t)=∑j=−kkeijtD_k(t) = \sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}부터 시작합니다.

    부분합은 합성곱입니다: Sk(f)(x)=12π∫−ππf(x−t) Dk(t) dtS_k(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,D_k(t)\,dt (지수함수들의 직교성).

    이를 평균하면 σN(f)=1N∑k=0N−1Sk(f)=12π(f∗KN)\sigma_N(f) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} S_k(f) = \frac{1}{2\pi}(f * K_N)이 되는데, 여기서 KN=1N∑k=0N−1DkK_N = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} D_k입니다.

  2. 합을 뒤집으면 ∑k=0N−1Dk(t)=∑k=0N−1∑j=−kkeijt\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}입니다. 주파수 jj (∣j∣≤N−1|j| \le N-1)는 k≥∣j∣k \ge |j|인 모든 kk에 등장하므로, 정확히 N−∣j∣N - |j|번 등장합니다: ∑k=0N−1Dk(t)=∑∣j∣≤N−1(N−∣j∣) eijt\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \sum_{|j| \le N-1} (N-|j|)\,e^{ijt}.

  3. 한편 ∣∑j=0N−1eijt∣2=∑j,lei(j−l)t\left|\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt}\right|^2 = \sum_{j,l} e^{i(j-l)t}를 전개하면, 차 m=j−lm = j-l이 ∣m∣≤N−1|m| \le N-1의 각 값을 정확히 N−∣m∣N - |m|번 취하므로 같은 합이 나옵니다.

    즉 ∑k=0N−1Dk(t)=∣∑j=0N−1eijt∣2≥0\sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \left|\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt}\right|^2 \ge 0입니다.

    등비수열 합으로 ∑j=0N−1eijt=ei(N−1)t/2 sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2)\sum_{j=0}^{N-1} e^{ijt} = e^{i(N-1)t/2}\,\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}이므로 KN(t)=1N(sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2))2≥0K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0입니다 (t=0t = 0에서는 극한값 NN).

  4. 적분은 간단합니다: ∫−ππeijt dt=2π\int_{-\pi}^{\pi} e^{ijt}\,dt = 2\pi (j=0j = 0일 때)이고 00 (j≠0j \ne 0일 때)이므로, ∫−ππKN=1N∑k=0N−1∫−ππDk=1N⋅N⋅2π=2π\int_{-\pi}^{\pi} K_N = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\int_{-\pi}^{\pi} D_k = \frac{1}{N}\cdot N \cdot 2\pi = 2\pi입니다. 즉 12π∫KN=1\frac{1}{2\pi}\int K_N = 1 — KNK_N은 질량 1인 음이 아닌 근사 항등원(approximate identity)입니다.

연속인 2π2\pi-주기 함수 ff에 대해 σN(f)→f\sigma_N(f) \to f가 균등수렴함을 증명하세요.

적분을 ∣t∣<δ|t| < \delta (균등연속성)와 δ≤∣t∣≤π\delta \le |t| \le \pi (핵의 꼬리 bound KN(t)≤1Nsin⁡2(δ/2)K_N(t) \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)})로 나누는 approximate-identity 논증을 쓰세요.

∣σN(x)−f(x)∣≤12π∫−ππKN(t) ∣f(x−t)−f(x)∣ dt\lvert\sigma_N(x) - f(x)\rvert \le \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N(t)\,\lvert f(x-t) - f(x)\rvert\,dt
KN(t)≤1Nsin⁡2(δ/2)(δ≤∣t∣≤π)K_N(t) \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \quad (\delta \le \lvert t\rvert \le \pi)
N=8N = 8: ∥σ8−f∥∞≈0.1101\lVert \sigma_8 - f \rVert_\infty \approx 0.1101, N=16N = 16에서 ≈0.0639\approx 0.0639, N=32N = 32에서 ≈0.0363\approx 0.0363으로 감소 — 아래 증명이 이 균등수렴의 기계입니다.
증명 보기

  1. ff를 2π2\pi-주기적으로 확장합니다 (여전히 연속이며, 주기성과 [−π,3π][-\pi, 3\pi]에서의 균등연속성 덕분에 R\mathbb{R} 전체에서 균등연속). 앞 문제에서 σN(f)(x)=12π∫−ππf(x−t) KN(t) dt\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,K_N(t)\,dt이고 12π∫KN=1\frac{1}{2\pi}\int K_N = 1이므로, f(x)=12π∫KN(t) f(x) dtf(x) = \frac{1}{2\pi}\int K_N(t)\,f(x)\,dt를 빼면 오차는 12π∫KN(t) ∣f(x−t)−f(x)∣ dt\frac{1}{2\pi}\int K_N(t)\,|f(x-t) - f(x)|\,dt 이하입니다 (KN≥0K_N \ge 0).

  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면, 균등연속성에서 ∣s−t∣<δ|s - t| < \delta일 때 ∣f(s)−f(t)∣<ε/2|f(s) - f(t)| < \varepsilon/2인 δ∈(0,π)\delta \in (0, \pi)를 잡습니다.

    적분을 ∣t∣<δ|t| < \delta와 δ≤∣t∣≤π\delta \le |t| \le \pi로 나눕니다.

    앞부분은 (ε/2)⋅12π∫∣t∣<δKN≤ε/2(\varepsilon/2)\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{|t|<\delta} K_N \le \varepsilon/2입니다 (질량이 1 이하이므로).

  3. 꼬리 부분: δ≤∣t∣≤π\delta \le |t| \le \pi에서는 ∣sin⁡(t/2)∣≥sin⁡(δ/2)>0|\sin(t/2)| \ge \sin(\delta/2) > 0이므로 (사인은 [0,π/2][0, \pi/2]에서 증가), KN(t)=1N(sin⁡(Nt/2)sin⁡(t/2))2≤1Nsin⁡2(δ/2)K_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \le \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)}입니다. M=∥f∥∞M = \|f\|_\infty라 두면 ∣f(x−t)−f(x)∣≤2M|f(x-t) - f(x)| \le 2M이므로, 꼬리는 12π⋅2M⋅2(π−δ)Nsin⁡2(δ/2)≤2MNsin⁡2(δ/2)\frac{1}{2\pi}\cdot 2M\cdot\frac{2(\pi-\delta)}{N\sin^2(\delta/2)} \le \frac{2M}{N\sin^2(\delta/2)} 이하입니다.

  4. 따라서 N>4Mεsin⁡2(δ/2)N > \frac{4M}{\varepsilon\sin^2(\delta/2)}이면 모든 xx에 대해 ∣σN(x)−f(x)∣<ε/2+ε/2=ε|\sigma_N(x) - f(x)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon입니다.

    NN의 선택이 xx에 무관하므로 수렴은 균등합니다.

    이것이 Fejér 정리입니다 — SNS_N 자체의 거동에 대한 가정이 전혀 없다는 점이 핵심입니다.

정사각파 ff (점프 불연속)를 생각하세요. 원시 부분합 SNS_N은 균등수렴하지 않음을 증명하세요 (Gibbs 울림 — 푸리에 씬에서 수치로 확인).

반면 σN\sigma_N은 점프에서 떨어진 compact 집합 위에서는 ff로 균등수렴함을 (앞 문제의 논증을 국소화하여) 증명하세요.

점프점 자체에서의 거동은 아이디어 수준으로만 서술하세요.

Gibbs: sup⁡x∣SN−f∣≳0.17 for all N\text{Gibbs: }\sup_x \lvert S_N - f\rvert \gtrsim 0.17 \text{ for all } N
⟹ no uniform convergence\Longrightarrow\ \text{no uniform convergence}
σN→f uniformly on K⋐[−π,π]∖{jumps}\sigma_N \to f \text{ uniformly on } K \Subset [-\pi,\pi] \setminus \{\text{jumps}\}
삼각파(연속)에서는 S8S_8의 sup 오차 ≈0.0252\approx 0.0252가 σ8\sigma_8의 ≈0.1101\approx 0.1101보다 작습니다 — Cesàro의 진짜 승리는 점프가 있는 함수에서 드러납니다 (정사각파 씬 참조).
증명 보기

  1. SNS_N은 삼각함수들의 합이므로 연속입니다. 연속함수들의 균등수렴 극한은 연속이어야 합니다 — 그런데 정사각파 ff는 점프점에서 불연속입니다.

    따라서 SN→fS_N \to f는 점프를 포함하는 어떤 구간 위에서도 균등수렴할 수 없습니다.

    푸리에 씬의 수치 실험이 보여주듯, 점프 옆의 overshoot ≈0.1789\approx 0.1789는 NN을 키워도 사라지지 않습니다 (Gibbs 현상).

  2. 이제 점프 집합 JJ에서 거리 d>0d > 0 이상 떨어진 compact 집합 KK를 고정합니다.

    앞 문제의 증명을 그대로 쓰되, δ=min⁡(d/2,δunif)\delta = \min(d/2, \delta_{\text{unif}})로 잡습니다 — 여기서 δunif\delta_{\text{unif}}는 ff가 JJ에서 d/2d/2 이상 떨어진 compact 집합(여기서는 ff가 연속이므로 균등연속) 위에서 ε/2\varepsilon/2-균등연속성을 주는 반경입니다.

    x∈Kx \in K이고 ∣t∣<δ|t| < \delta이면 x−tx - t는 여전히 JJ에서 d/2d/2 이상 떨어져 있어 균등연속성이 적용되고, 꼬리 bound는 그대로입니다.

  3. 따라서 sup⁡x∈K∣σN(x)−f(x)∣→0\sup_{x \in K} |\sigma_N(x) - f(x)| \to 0 — Cesàro 평균은 점프를 피한 곳에서는 균등수렴을 회복합니다. 이것이 Fejér 정리가 SNS_N의 실패를 넘어서는 지점입니다: 평균을 취하면 울림이 평균화되어 사라집니다.

  4. 아이디어 수준: 점프점 자체에서는 KNK_N이 대칭이므로 σN\sigma_N은 점프의 양쪽 값을 절반씩 받아, 정사각파의 경우 σN(0)=0\sigma_N(0) = 0 (중간값)으로 수렴합니다. 일반적으로는 한쪽 극한들의 평균 (f(x+)+f(x−))/2(f(x^+) + f(x^-))/2로 수렴합니다 — 엄밀한 증명은 생략합니다.

9. 함수급수와 푸리에