유계변동 함수

함수가 출렁인 총 거리를 재는 씬입니다. 그 합이 유한한 상한 안에 머물면 유계변동입니다.

출발점과 도착점만으로는 부족합니다. 중간에 오르내린 양을 전부 더해야 합니다. 단조함수는 출렁임이 한 방향뿐이라 통과합니다. 끝없이 떨리는 함수는 합이 폭발해 탈락합니다.

예를 들면, 🚗 자동차가 오르락내리락 달려도 주행 거리 총합이 정해져 있으면 유계변동이에요. 한자리에서 끝없이 떨면 거리가 무한히 쌓여요.

Vab(f)=sup⁡P∑i=1n∣f(xi)−f(xi−1)∣<∞V_a^b(f) = \sup_P \sum_{i=1}^{n} \lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert < \infty
f=g−h,g,h increasing (Jordan)f = g - h, \quad g, h\ \text{increasing (Jordan)}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

구간 [a,b][a, b]에서 단조인 모든 함수 ff가 유계변분이며 Vab(f)=∣f(b)−f(a)∣V_a^b(f) = |f(b) - f(a)|임을 보이세요.

Vab(f):=sup⁡P∑i=1m∣f(xi)−f(xi−1)∣V_a^b(f) := \sup_P \sum_{i=1}^{m} \bigl|f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr|
∑i=1m∣f(xi)−f(xi−1)∣=∑i=1m(f(xi)−f(xi−1))=f(b)−f(a)(f increasing)\sum_{i=1}^{m} \bigl|f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr| = \sum_{i=1}^{m} \bigl(f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr) = f(b) - f(a) \quad (f \text{ increasing})
n=40n = 40: f(x)=sin⁡(2πx)f(x) = \sin(2\pi x)는 단조가 아니지만 V40≈3.9968V_{40} \approx 3.9968 — 단조인 경우는 분할마다 망원경 합이 되어 변분이 ∣f(b)−f(a)∣|f(b) - f(a)| 하나로 고정됩니다.
증명 보기

  1. ff가 [a,b][a, b]에서 증가한다고 하고, 임의의 분할 P={x0<x1<⋯<xm}P = \{x_0 < x_1 < \dots < x_m\} ([x0,xm]=[a,b][x_0, x_m] = [a, b])를 잡습니다.

    단조증가이므로 각 구간에서 f(xi)−f(xi−1)≥0f(x_i) - f(x_{i-1}) \ge 0이고, 절댓값이 풀려 ∑i=1m∣f(xi)−f(xi−1)∣=∑i=1m(f(xi)−f(xi−1))\sum_{i=1}^{m}|f(x_i) - f(x_{i-1})| = \sum_{i=1}^{m}(f(x_i) - f(x_{i-1}))가 됩니다.

    이는 망원경 합이므로 f(b)−f(a)f(b) - f(a)와 같습니다.

  2. ff가 감소인 경우에도 마찬가지입니다: f(xi)−f(xi−1)≤0f(x_i) - f(x_{i-1}) \le 0이므로 ∣f(xi)−f(xi−1)∣=f(xi−1)−f(xi)|f(x_i) - f(x_{i-1})| = f(x_{i-1}) - f(x_i)가 되어 합은 f(a)−f(b)=∣f(b)−f(a)∣f(a) - f(b) = |f(b) - f(a)|가 됩니다. 즉 단조함수에 대해서는 모든 분할이 똑같은 변분 ∣f(b)−f(a)∣|f(b) - f(a)|를 줍니다.

  3. 따라서 분할에 대한 상한(supremum)은 ∣f(b)−f(a)∣<∞|f(b) - f(a)| < \infty이며, 이는 바로 Vab(f)=∣f(b)−f(a)∣V_a^b(f) = |f(b) - f(a)|를 뜻합니다 — 유계변분입니다. 칸토어 함수(극한과 연속 편의 씬)는 [0,1][0, 1]에서 증가하고 c(0)=0c(0) = 0, c(1)=1c(1) = 1이므로 V01(c)=1V_0^1(c) = 1입니다.

조던 분해 정리: ff가 [a,b][a, b]에서 유계변분이기 위한 필요충분조건은 f=g−hf = g - h (단, g,hg, h는 [a,b][a, b]에서 증가하는 함수)로 쓸 수 있는 것입니다.

힌트: v(x):=Vax(f)v(x) := V_a^x(f)라 두세요.

v(x):=Vax(f),f=v+f2−v−f2v(x) := V_a^x(f), \qquad f = \frac{v + f}{2} - \frac{v - f}{2}
Vxy(f)≥±(f(y)−f(x))(a≤x<y≤b)V_x^y(f) \ge \pm\bigl(f(y) - f(x)\bigr) \quad (a \le x < y \le b)
n=80n = 80: V80≈3.9992V_{80} \approx 3.9992 — 누적 변분 v(x)=V0x(sin⁡2π ⋅)v(x) = V_0^x(\sin 2\pi\,\cdot) 자체가 단조증가하므로, f=v+f2−v−f2f = \frac{v+f}{2} - \frac{v-f}{2}가 두 증가함수의 차가 됩니다.
증명 보기

  1. ff가 [a,b][a, b]에서 유계변분이라 하고 v(x):=Vax(f)v(x) := V_a^x(f) (a≤x≤ba \le x \le b)라 둡니다. 변분은 구간 덧셈성 Vay(f)=Vax(f)+Vxy(f)V_a^y(f) = V_a^x(f) + V_x^y(f)를 가지므로 (a≤x<y≤ba \le x < y \le b), v(y)−v(x)=Vxy(f)≥0v(y) - v(x) = V_x^y(f) \ge 0 — 즉 vv는 증가함수입니다.

  2. 핵심 부등식: 구간 [x,y][x, y]의 자명 분할 {x,y}\{x, y\}는 상한을 잡는 분할들의 하나이므로, Vxy(f)≥∣f(y)−f(x)∣≥±(f(y)−f(x))V_x^y(f) \ge |f(y) - f(x)| \ge \pm(f(y) - f(x))입니다. 따라서 v(y)−v(x)≥f(y)−f(x)v(y) - v(x) \ge f(y) - f(x)이면서 동시에 v(y)−v(x)≥−(f(y)−f(x))v(y) - v(x) \ge -(f(y) - f(x))입니다.

  3. g:=v+f2g := \frac{v + f}{2}, h:=v−f2h := \frac{v - f}{2}라 둡니다. 그러면 g(y)−g(x)=12((v(y)−v(x))+(f(y)−f(x)))≥0g(y) - g(x) = \frac{1}{2}\bigl((v(y) - v(x)) + (f(y) - f(x))\bigr) \ge 0, h(y)−h(x)=12((v(y)−v(x))−(f(y)−f(x)))≥0h(y) - h(x) = \frac{1}{2}\bigl((v(y) - v(x)) - (f(y) - f(x))\bigr) \ge 0이므로 g,hg, h는 모두 증가함수이고, g−h=fg - h = f입니다.

  4. 역방향: f=g−hf = g - h (g,hg, h 증가)라면 문제 1에 의해 g,hg, h는 유계변분이고, 삼각부등식으로 ∣f(xi)−f(xi−1)∣≤∣g|f(x_i) - f(x_{i-1})| \le |g의 차∣+∣h| + |h의 차∣|이므로 VP(f)≤VP(g)+VP(h)=(g(b)−g(a))+(h(b)−h(a))<∞V_P(f) \le V_P(g) + V_P(h) = (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a)) < \infty — 따라서 ff는 유계변분입니다. 즉 ff 유계변분   ⟺  \iff f=g−hf = g - h (가법 상수까지 유일).

f(0)=0f(0) = 0, x>0x > 0에서 f(x)=xsin⁡(1/x)f(x) = x\sin(1/x)인 ff가 [0,1][0, 1]에서 유계변분이 아님을 보이세요.

uk=12πk+π/2,  f(uk)=uk,vk=12πk+3π/2,  f(vk)=−vku_k = \frac{1}{2\pi k + \pi/2},\; f(u_k) = u_k, \qquad v_k = \frac{1}{2\pi k + 3\pi/2},\; f(v_k) = -v_k
V(f)≥∑k=1N(uk+vk)≥∑k=1N12πk=HN2π⟶∞V(f) \ge \sum_{k=1}^{N}(u_k + v_k) \ge \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2\pi k} = \frac{H_N}{2\pi} \longrightarrow \infty
n=200n = 200: V200≈2.1388V_{200} \approx 2.1388 — 증명의 하한 ∑k=1200(uk+vk)≈1.6849>1\sum_{k=1}^{200}(u_k + v_k) \approx 1.6849 > 1을 이미 넘어섰고, HN/(2π)→∞H_N/(2\pi) \to \infty이므로 변분은 어떤 상한 아래도 들어가지 않습니다.
증명 보기

  1. sin⁡(1/x)=1\sin(1/x) = 1인 점 uk=12πk+π/2u_k = \frac{1}{2\pi k + \pi/2} (f(uk)=ukf(u_k) = u_k)와 sin⁡(1/x)=−1\sin(1/x) = -1인 점 vk=12πk+3π/2v_k = \frac{1}{2\pi k + 3\pi/2} (f(vk)=−vkf(v_k) = -v_k)를 잡습니다. 분모를 비교하면 0<vk<uk<10 < v_k < u_k < 1이고, uk+1=12πk+5π/2<vku_{k+1} = \frac{1}{2\pi k + 5\pi/2} < v_k이므로 점들은 0<vN<uN<⋯<v1<u1<10 < v_N < u_N < \dots < v_1 < u_1 < 1 순으로 늘어섭니다.

  2. 분할 PN={0,vN,uN,…,v1,u1,1}P_N = \{0, v_N, u_N, \dots, v_1, u_1, 1\}을 잡습니다. 구간 [0,vN][0, v_N]과 [u1,1][u_1, 1]의 기여는 음이 아니므로 버려도 되고, 각 쌍 (vk,uk)(v_k, u_k)에서 ∣f(uk)−f(vk)∣=∣uk−(−vk)∣=uk+vk|f(u_k) - f(v_k)| = |u_k - (-v_k)| = u_k + v_k이므로 VPN(f)≥∑k=1N(uk+vk)V_{P_N}(f) \ge \sum_{k=1}^{N}(u_k + v_k)입니다.

  3. 이제 uk+vk≥2vk=22πk+3π/2≥12πku_k + v_k \ge 2v_k = \frac{2}{2\pi k + 3\pi/2} \ge \frac{1}{2\pi k}를 확인합니다: 마지막 부등식은 4πk≥2πk+3π/24\pi k \ge 2\pi k + 3\pi/2, 즉 4k≥34k \ge 3 (k≥1k \ge 1)과 동치입니다. 따라서 VPN(f)≥∑k=1N12πk=HN2π→∞V_{P_N}(f) \ge \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2\pi k} = \frac{H_N}{2\pi} \to \infty (N→∞N \to \infty).

  4. 분할 변분이 발산하므로 sup⁡PVP(f)=∞\sup_P V_P(f) = \infty: ff는 [0,1][0, 1]에서 유계변분이 아닙니다. 수치 확인: u1=12.5π≈0.12732u_1 = \frac{1}{2.5\pi} \approx 0.12732, v1=13.5π≈0.09095v_1 = \frac{1}{3.5\pi} \approx 0.09095, ∑k=1200(uk+vk)≈1.6849>1\sum_{k=1}^{200}(u_k + v_k) \approx 1.6849 > 1 — 화면의 V200≈2.1388V_{200} \approx 2.1388이 이 하한을 이미 넘었습니다. (참고: x2sin⁡(1/x)x^2\sin(1/x)는 유계변분입니다 — V≤3V \le 3인 이유는 ∫01∣f′∣≤2\int_0^1 |f'| \le 2 때문입니다.)

11. 적분