절대연속성

구간들의 총 길이가 0으로 가면 함수값 변화의 합도 0으로 가는 성질입니다. 칸토어 함수는 이 성질이 없는 연속함수입니다.

작은 입력 변화가 큰 출력을 만들 수 없어야 합니다. 이런 함수는 정확히 적분으로 만들어지는 함수입니다. 칸토어 함수는 평평한데도 0에서 1로 올라가 규칙을 깹니다.

예를 들면, 수도꼭지를 조금만 열면 💧 물도 조금만 나오는 것과 같아요. 칸토어 함수는 꼭지를 거의 안 열었는데 물이 한 바가지 나오는 이상한 수도예요.

F absolutely continuous   ⟺  ∀ε>0 ∃δ>0:∑(bi−ai)<δ⇒∑∣F(bi)−F(ai)∣<εF \text{ absolutely continuous } \iff \forall \varepsilon > 0\, \exists \delta > 0: \sum (b_i - a_i) < \delta \Rightarrow \sum |F(b_i) - F(a_i)| < \varepsilon
F(x)=F(a)+∫axf dx(f∈L1)  ⟺  F absolutely continuousF(x) = F(a) + \int_a^x f\,dx\quad (f \in L^1) \iff F \text{ absolutely continuous}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

f∈L1[a,b]f \in L^1[a, b]이고 F(x)=F(a)+∫axfF(x) = F(a) + \int_a^x f라 하자.

FF가 절대연속임을 증명하세요.

먼저 다음 보조정리를 증명하세요: 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해, m(E)<δm(E) < \delta이면 ∫E∣f∣<ε\int_E |f| < \varepsilon이 되는 δ>0\delta > 0이 존재합니다.

∫E∣f∣≤ε2+M⋅m(E)<ε,∑i∣F(bi)−F(ai)∣≤∫⋃i[ai,bi]∣f∣<ε\int_E |f| \le \frac{\varepsilon}{2} + M \cdot m(E) < \varepsilon, \qquad \sum_{i} |F(b_i) - F(a_i)| \le \int_{\bigcup_i [a_i,b_i]} |f| < \varepsilon
F(x)=x2F(x) = x^2, δ=0.2\delta = 0.2: ∑∣ΔF∣=1−(1−0.2)2=0.36\sum |\Delta F| = 1 - (1 - 0.2)^2 = 0.36 — 구간들의 총 길이 0.20.2가 작아지면 ∑∣ΔF∣\sum |\Delta F|도 0으로 갑니다 (절대연속 ✓).
증명 보기

  1. 보조정리 (절대연속적분): 잘린 함수 ∣f∣⋅1{∣f∣≤M}|f| \cdot \mathbf{1}_{\{|f| \le M\}}에 지배수렴정리를 적용합니다. 이 함수들은 M→∞M \to \infty일 때 ∣f∣|f|로 점별 수렴하고, 지배함수는 ∣f∣∈L1|f| \in L^1입니다 (가정).

    따라서 ∫∣f∣⋅1{∣f∣≤M}→∫∣f∣\int |f| \cdot \mathbf{1}_{\{|f| \le M\}} \to \int |f|, 즉 꼬리 ∫∣f∣>M∣f∣→0\int_{|f| > M} |f| \to 0 (M→∞M \to \infty)입니다.

    그러므로 ∫∣f∣>M∣f∣<ε2\int_{|f| > M} |f| < \frac{\varepsilon}{2}인 MM이 존재하고, MM을 키우면 꼬리는 더 작아지므로 M≥1M \ge 1로 잡을 수 있습니다.

  2. 임의의 가측집합 EE에 대해 ∣f∣=∣f∣⋅1{∣f∣>M}+∣f∣⋅1{∣f∣≤M}|f| = |f| \cdot \mathbf{1}_{\{|f| > M\}} + |f| \cdot \mathbf{1}_{\{|f| \le M\}}로 나누면 ∫E∣f∣≤∫∣f∣>M∣f∣+M⋅m(E)<ε2+M⋅m(E)\int_E |f| \le \int_{|f| > M} |f| + M \cdot m(E) < \frac{\varepsilon}{2} + M \cdot m(E)가 됩니다. 위에서 M≥1>0M \ge 1 > 0으로 잡았으므로 δ:=ε2M\delta := \frac{\varepsilon}{2M}이 잘 정의되고, m(E)<δm(E) < \delta이면 ∫E∣f∣<ε\int_E |f| < \varepsilon입니다.

  3. 이제 [ai,bi][a_i, b_i]들이 서로 겹치지 않고 총 길이가 δ\delta보다 작다고 하자. 각 구간에 대해 ∣F(bi)−F(ai)∣=∣∫aibif∣≤∫aibi∣f∣|F(b_i) - F(a_i)| = \left|\int_{a_i}^{b_i} f\right| \le \int_{a_i}^{b_i} |f|이므로, 이들을 합하면 ∑i∣F(bi)−F(ai)∣≤∑i∫aibi∣f∣=∫⋃i[ai,bi]∣f∣<ε\sum_i |F(b_i) - F(a_i)| \le \sum_i \int_{a_i}^{b_i} |f| = \int_{\bigcup_i [a_i,b_i]} |f| < \varepsilon (보조정리를 E=⋃i[ai,bi]E = \bigcup_i [a_i,b_i]에 적용) — 즉 FF는 절대연속입니다.

  4. 수치 확인 (F(x)=x2F(x) = x^2, δ=0.2\delta = 0.2): 구간들을 [1−δ,1][1 - \delta, 1]에 압축하면 ∑∣ΔF∣=1−(1−0.2)2=0.36\sum |\Delta F| = 1 - (1 - 0.2)^2 = 0.36 — 캡션과 일치하며, δ→0\delta \to 0일 때 2δ−δ2→02\delta - \delta^2 \to 0이므로 "절대적" 조건이 성립합니다.

칸토어 함수 cc가 절대연속이 아님을 증명하세요: nn단계 칸토어 구간 2n2^n개는 총 길이 (23)n\left(\frac23\right)^n를 가지지만 ∑∣Δc∣=1\sum |\Delta c| = 1입니다.

total length=2n⋅3−n=(23)n→0,∑∣Δc∣=2n⋅2−n=1≮12\text{total length} = 2^n \cdot 3^{-n} = \left(\tfrac23\right)^n \to 0, \qquad \sum |\Delta c| = 2^n \cdot 2^{-n} = 1 \not< \tfrac12
n=4n = 4: 242^4개의 구간, 총 길이 (23)4=1681≈0.1975→0\left(\frac23\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.1975 \to 0이지만 ∑∣Δc∣=1\sum |\Delta c| = 1 — 항상 1이므로 절대연속 ✗.
증명 보기

  1. 절대연속성을 부정합니다: ε=12\varepsilon = \frac12에 대해 어떤 δ>0\delta > 0도 조건을 만족하지 않음을 보이겠습니다. nn단계의 칸토어 집합은 길이 3−n3^{-n}인 닫힌 구간 2n2^n개로 이루어집니다 (각 단계마다 구간이 3등분되어 가운데가 제거됨).

  2. 이들 구간들의 총 길이는 2n⋅3−n=(23)n→02^n \cdot 3^{-n} = \left(\frac23\right)^n \to 0이므로, 충분히 큰 nn에 대해 총 길이 <δ< \delta가 됩니다. 그런데 칸토어 함수 cc는 각 nn단계 구간에서 정확히 2−n2^{-n}만큼 상승합니다 (이진 전개의 다음 자릿수가 결정됨).

  3. 따라서 ∑∣Δc∣=2n⋅2−n=1≮12=ε\sum |\Delta c| = 2^n \cdot 2^{-n} = 1 \not< \frac12 = \varepsilon — 총 길이가 임의로 작아져도 ∑∣Δc∣\sum |\Delta c|는 1에 고정됩니다.

    이는 절대연속성 정의에 정면으로 위배되므로 cc는 절대연속이 아닙니다.

    한편 cc는 균등연속이므로, 균등연속은 절대연속을 함의하지 않습니다.

  4. 수치 확인 (n=4n = 4): 총 길이 (23)4=1681≈0.1975\left(\frac23\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.1975, ∑∣Δc∣=1\sum |\Delta c| = 1 — 캡션과 일치합니다. n=10n = 10에서도 총 길이는 ≈0.0173\approx 0.0173로 줄지만 ∑∣Δc∣\sum |\Delta c|는 여전히 1입니다.

Lipschitz 상수 LL을 가진 함수 F:[a,b]→RF:[a, b] \to \mathbb{R}가 절대연속임을 증명하세요 (δ=εL\delta = \frac{\varepsilon}{L}을 쓰세요).

∑i∣F(bi)−F(ai)∣≤L∑i(bi−ai)<L⋅εL=ε\sum_i |F(b_i) - F(a_i)| \le L \sum_i (b_i - a_i) < L \cdot \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon
F(x)=x2F(x) = x^2는 [0,1][0, 1]에서 L=2L = 2인 Lipschitz 함수: δ=0.2\delta = 0.2일 때 ∑∣ΔF∣=0.36<Lδ=0.4\sum |\Delta F| = 0.36 < L\delta = 0.4 — Lipschitz 조건 ∣F(b)−F(a)∣≤L(b−a)|F(b) - F(a)| \le L(b - a)가 절대연속성을 직접 줍니다.
증명 보기

  1. ε>0\varepsilon > 0에 대해 δ=εL\delta = \frac{\varepsilon}{L}로 둡니다 (L=0L = 0인 경우 FF는 상수함수이므로 자명). 총 길이가 δ\delta보다 작은 서로 겹치지 않는 구간 [ai,bi][a_i, b_i]들을 취합니다.

  2. 각 구간에서 ∣F(bi)−F(ai)∣≤L(bi−ai)|F(b_i) - F(a_i)| \le L(b_i - a_i)이므로, 합하면 ∑i∣F(bi)−F(ai)∣≤L∑i(bi−ai)<Lδ=ε\sum_i |F(b_i) - F(a_i)| \le L \sum_i (b_i - a_i) < L\delta = \varepsilon — 절대연속성 정의가 정확히 성립합니다.

  3. 수치 확인 (F(x)=x2F(x) = x^2, [0,1][0, 1]에서 L=2L = 2): δ=0.2\delta = 0.2일 때 ∑∣ΔF∣=1−(1−0.2)2=0.36<Lδ=0.4\sum |\Delta F| = 1 - (1 - 0.2)^2 = 0.36 < L\delta = 0.4 — 캡션과 일치하며, Lipschitz 상수가 절대연속성의 δ\delta를 직접 제공합니다.

11. 적분