수익률 분포: 평균과 변동성

주식 한 주를 샀다고 하자. 내년 수익률이 얼마일지는 모른다. 다만 평균과 퍼짐은 말할 수 있다.

평균이 8%8\%이고 변동성이 15%15\%라면, 수익률은 대략 8%8\%를 중심으로 15%15\% 정도씩 흔들린다. 아래 식은 그 분포의 모양이다. 기준을 움직이면 그 기준 아래로 떨어질 확률이 어떻게 바뀌는지 보인다.

예를 들면, 용돈 100,000원으로 주식을 샀다고 하자. 평균 수익률이 8%8\%면 내년에는 대략 108,000원이 되기를 기대한다. 하지만 변동성이 15%15\%면 93,000원이 될 수도 있고 123,000원이 될 수도 있다. 기대와 흔들림은 따로 읽어야 한다.

원전: Fama, E. F. (1965). The Behavior of Stock-Market Prices. Journal of Business, 38(1), 34-105. 이 논문은 실제 주가 수익률이 정규분포보다 꼬리가 두껍다는 것을 보였다. 그래서 이 씬의 정규분포는 근사일 뿐이다.

f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
P(X<c)=Φ(c−μσ)P(X < c) = \Phi\left(\frac{c - \mu}{\sigma}\right)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

계산형

수익률이 평균 8%8\%, 변동성 15%15\%인 정규분포를 따른다.

수익률이 0%0\% 아래로 떨어질 확률을 구하라.

평균 8%8\%, 변동성 15%15\%, 기준 0%0\%인 분포
증명 보기

  1. 표준화한다: z=(0−8)/15=−0.533z = (0 - 8) / 15 = -0.533.

  2. 표준정규분포에서 Φ(−0.533)≈0.297\Phi(-0.533) \approx 0.297이다.

정답

약 0.2970.297, 즉 약 29.7%29.7\%

1. 통계와 확률의 기초