1. 통계와 확률의 기초

시계열은 나중에 온다. 먼저 숫자 하나의 분포를 읽어야 한다. 평균이 중심이고, 변동성이 퍼짐이다. 곡선을 움직여 보면, 평균이 올라가면 곡선 전체가 오른쪽으로 가고, 변동성이 커지면 곡선이 납작해진다.

• 수익률 분포: 평균과 변동성 — 주식 한 주를 샀다고 하자. 내년 수익률이 얼마일지는 모른다. 다만 평균과 퍼짐은 말할 수 있다. 평균이 $8\%$이고 변동성이 $15\%$라면, 수익률은 대략 $8\%$를 중심으로 $15\%$ 정도씩 흔들린다. 아래 식은 그 분포의 모양이다. 기준을 움직이면 그 기준 아래로 떨어질 확률이 어떻게 바뀌는지 보인다. 예를 들면, 용돈 100,000원으로 주식을 샀다고 하자. 평균 수익률이 $8\%$면 내년에는 대략 108,000원이 되기를 기대한다. 하지만 변동성이 $15\%$면 93,000원이 될 수도 있고 123,000원이 될 수도 있다. 기대와 흔들림은 따로 읽어야 한다. 원전: Fama, E. F. (1965). The Behavior of Stock-Market Prices. Journal of Business, 38(1), 34-105. 이 논문은 실제 주가 수익률이 정규분포보다 꼬리가 두껍다는 것을 보였다. 그래서 이 씬의 정규분포는 근사일 뿐이다.
• 표본이 커지면 평균이 제자리를 찾는다 — 앞 씬에서 분포의 중심을 봤다. 이제 그 중심을 표본으로 추정해 본다. 표본이 10개면 평균이 진짜 평균에서 멀리 떨어질 수 있다. 표본이 100개, 1000개로 커지면 평균이 진짜 평균에 붙는다. 이것이 대수의 법칙이다. 아래 곡선은 표본을 하나씩 더할 때마다 평균이 어떻게 움직이는지 보여준다. 예를 들면, 주사위를 10번 던진 평균은 3.5에서 멀 수 있다. 6이 여러 번 나오면 평균이 훌쩍 올라간다. 주사위를 1000번 던지면 평균은 3.5에 아주 가까워진다. 운이 평균을 이기는 힘은 표본이 커질수록 약해진다. 원전: Bernoulli, J. (1713). Ars Conjectandi. 대수의 법칙이 처음 증명된 책이다.