위상수학자의 사인 곡선

\{(x, \sin(1/x)) : x > 0\}

의 폐포는

y

축 위의 선분

\{0\}\times[-1,1]

을 덧붙입니다. 연결집합의 폐포라 연결이지만, 선분 위의 점에서 곡선으로 가는 길은 없습니다 — 연결이 path-연결보다 약한 이유의 살아있는 예시입니다.

예제

$S = \{(x, \sin(1/x)) : x > 0\} \subseteq \mathbb{R}^2$ 이 연결집합임을 완전히 증명하세요.

S = f((0,\infty)), \qquad f(x) = (x,\, \sin(1/x))

x_{\min} = 0.05

: 곡선

S

하나만 봐도 0 근처에서 무한히 진동하지만, 끊어지지 않은 하나의 연속 곡선입니다.

증명 보기

$(0,\infty)$ 는 연결집합입니다 (구간이므로 — $\mathbb{R}$ 의 연결성 증명과 같은 $\sup$ 논증이 그대로 적용됩니다). 사상 $f(x) = (x, \sin(1/x))$ 는 두 좌표함수가 모두 연속이므로 연속이고, 그 상이 정확히 $S$ 입니다.
연속함수 아래에서 연결집합의 상은 연결집합입니다: $f(X) = A \cup B$ 가 서로소인 비어 있지 않은 (상대적으로) 열린 집합으로의 분해라면, $X = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ 도 서로소인 비어 있지 않은 상대 열린 집합으로의 분해가 되어 $X$ 의 연결성에 모순되기 때문입니다 ( $A, B$ 가 비어 있지 않으면 그 역상도 비어 있지 않습니다).
따라서 $S = f((0,\infty))$ 는 연결집합입니다. 연결집합의 폐포도 연결집합이므로 $T = \overline{S}$ 역시 연결집합입니다 — 아래 문제 2에서 이 폐포를 구합니다.

$\overline{S} = S \cup \big(\{0\} \times [-1,1]\big)$ 임을 완전히 증명하세요. 즉 $S$ 의 폐포는 $S$ 에 수직 선분 $\{0\} \times [-1,1]$ 을 더한 것과 같습니다.

\overline{S} = S \cup \big(\{0\} \times [-1,1]\big)

x_{\min} = 0.01

: 0에 더 가까이 다가가면 점열

(x_n, 1)

(x_n, -1)

이 빨간 선분의 양 끝점으로 수렴하는 것이 보입니다.

증명 보기

$\supseteq$ : $S \subseteq \overline{S}$ 는 자명합니다. $|y| \le 1$ 인 점 $(0,y)$ 에 대해 $x_n = \frac{1}{\arcsin y + 2\pi n}$ ( $n \ge 1$ )이라 두면 $x_n \to 0^+$ 이고 $\sin(1/x_n) = \sin(\arcsin y + 2\pi n) = y$ 입니다. 따라서 $(x_n, y) \in S$ 가 $(0,y)$ 로 수렴하므로, $\{0\} \times [-1,1]$ 의 모든 점은 $S$ 의 극한점입니다.
$\subseteq$ : $p \in \overline{S}$ 라 하세요. $p = (x,y)$ 에서 $x < 0$ 이면 공 $B(p, |x|/2)$ 는 $S$ 의 점(첫 좌표가 모두 양수)을 전혀 포함하지 않으므로 불가능합니다. $x > 0$ 이고 $p \notin S$ 라 가정하면, $K = f([x/2,\, 3x/2])$ ( $f$ 는 위 문제의 사상)는 컴팩트 집합의 연속상이므로 컴팩트, 따라서 닫혀 있습니다. 공 $B(p, x/2)$ 와 만나는 $S$ 의 점은 첫 좌표가 $(x/2,\, 3x/2)$ 안에 있으므로 $K$ 에 속합니다 — 즉 $p \in \overline{K} = K \subseteq S$ 가 되어 모순입니다. 그러므로 $x > 0$ 이면 $p \in S$ 입니다.
마지막으로 $p = (0,y)$ 인 경우: $(u,v) \in S$ 에 대해 $|p - (u,v)| \ge |y - v| \ge |y| - 1$ 입니다 ( $|v| = |\sin| \le 1$ ). $|y| > 1$ 이면 공 $B(p, (|y|-1)/2)$ 가 $S$ 와 만나지 않아 $p \in \overline{S}$ 에 모순됩니다. 따라서 $|y| \le 1$ , 즉 $p \in \{0\} \times [-1,1]$ 입니다. 세 경우를 합치면 $\overline{S} = S \cup (\{0\} \times [-1,1])$ 입니다.

$T = \overline{S}$ 는 경로연결집합이 아님을 완전히 증명하세요: 선분 $\{0\} \times [-1,1]$ 위의 점에서 $S$ 의 점으로 가는 $T$ 안의 경로는 존재하지 않습니다.

\gamma(0) \in \{0\} \times [-1,1],\ \gamma(1) \in S \implies \text{no continuous } \gamma: [0,1] \to T

빨간 선분에서 곡선으로 "걸어가" 보세요 — 0 근처의 무한 진동이 어떤 경로도 막아섭니다. 증명은 이 장애물을 수열로 포착합니다.

증명 보기

$\gamma: [0,1] \to T$ 가 연속이고 $\gamma(0) \in \{0\} \times [-1,1]$ , $\gamma(1) \in S$ 라고 가정하고 모순을 이끌어냅니다. $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ 라 쓰고, $c = \sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ 이라 둡니다 (0을 포함하므로 비어 있지 않음). 연속성에 의해 $x(c) = 0$ 이고, $x(1) > 0$ 이므로 $c < 1$ 입니다. 또한 $t \in (c,1]$ 에서는 $x(t) > 0$ 입니다 (그렇지 않으면 $\sup$ 이 더 커집니다).
$t \in (c,1]$ 에서 $\gamma(t) \in T$ 의 첫 좌표가 양수이므로 $\gamma(t) \in S$ , 즉 $y(t) = \sin(1/x(t))$ 입니다. $v_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2} \to 0$ 이므로 $n$ 이 크면 $v_n < x(1)$ 입니다. $[c,1]$ 에서 $x(c) = 0 < v_n < x(1)$ 이므로 중간값 정리에 의해 $x(t_n) = v_n$ 인 $t_n \in (c,1]$ 이 존재합니다. 이때 $y(t_n) = \sin(2\pi n + \pi/2) = 1$ 입니다. $(t_n)$ 의 모든 집적점 $t^* \in [c,1]$ 은 $x(t^*) = \lim v_n = 0$ 을 만족하므로 $(c,1]$ 에서 $x > 0$ 인 데 의해 $t^* = c$ 입니다 — 따라서 $t_n \to c$ 이고, 연속성에 의해 $y(c) = \lim y(t_n) = 1$ 입니다.
마찬가지로 $w_n = \frac{1}{2\pi n + 3\pi/2}$ 에 대해 $x(s_n) = w_n$ 인 $s_n \in (c,1]$ 을 잡으면 $y(s_n) = \sin(2\pi n + 3\pi/2) = -1$ 이고 같은 논증으로 $s_n \to c$ 이므로 $y(c) = -1$ 입니다. $y(c) = 1$ 과 모순되므로, 가정한 경로는 존재하지 않습니다. $T$ 는 연결집합이지만 경로연결집합이 아닙니다.