페아노 곡선

연속사상 [0,1]→[0,1]2[0,1] \to [0,1]^2가 정사각형을 가득 채울 수 있습니다 — 9개 정사각형 뱀 행렬을 재귀적으로 반복하면 균등수렴하는 근사 곡선들이 전사 연속 극한을 만듭니다. 단사성은 불가능합니다 (Netto 정리, 완전 증명).

γn→γ uniformly,γ:[0,1]→[0,1]2 continuous and onto\gamma_n \to \gamma \text{ uniformly},\quad \gamma : [0,1] \to [0,1]^2 \text{ continuous and onto}
No continuous bijection [0,1]→[0,1]2 exists\text{No continuous bijection } [0,1] \to [0,1]^2 \text{ exists}

예제

차수 kk 근사곡선 pk:[0,1]→[0,1]2p_k: [0,1] \to [0,1]^2 (9개의 부분정사각형을 뱀 모양으로 도는 꺾은선의 재귀적 세분)가 균등 코시 수열임을 보이고, 균등 극한 pp가 연속임을 완전히 증명하세요.

∥pk+1−pk∥∞≤23k→0\|p_{k+1} - p_k\|_\infty \le \frac{\sqrt{2}}{3^k} \to 0
차수 k=1k = 1: 9개의 선분이 9개의 부분정사각형 중심을 뱀 모양으로 잇습니다 — 이 패턴이 각 정사각형 안에서 재귀적으로 반복됩니다.
증명 보기
  1. 각 pkp_k는 꺾은선이므로 연속입니다. 매개화는 다음과 같습니다: pkp_k는 각 구간 [(j−1)/9k, j/9k][(j-1)/9^k,\, j/9^k]를 jj번째 kk단계 부분정사각형 Qj(k)Q_j^{(k)} (한 변 3−k3^{-k}) 안에서 뱀 모양 순서대로 돕니다.
  2. pk+1p_{k+1}은 세분(refinement)입니다: 구간 [(j−1)/9k, j/9k][(j-1)/9^k,\, j/9^k] 위에서 pk+1p_{k+1}은 같은 Qj(k)Q_j^{(k)} 안에 들어 있는 9개의 (k+1)(k+1)단계 부분정사각형을 돕니다 (재귀가 각 QjQ_j 안에서 같은 패턴을 적용하므로). 따라서 모든 tt에 대해 pk(t)p_k(t)와 pk+1(t)p_{k+1}(t)는 같은 Qj(k)Q_j^{(k)} 안에 있고, ∣pk+1(t)−pk(t)∣≤diam Qj(k)=2 3−k|p_{k+1}(t) - p_k(t)| \le \mathrm{diam}\, Q_j^{(k)} = \sqrt{2}\, 3^{-k}입니다. 즉 (pk)(p_k)는 균등 코시 수열이므로 균등수렴합니다 — 극한을 pp라 하세요.
  3. 연속함수들의 균등 극한은 연속입니다: ∣p(s)−p(t)∣≤∣p(s)−pk(s)∣+∣pk(s)−pk(t)∣+∣pk(t)−p(t)∣|p(s) - p(t)| \le |p(s) - p_k(s)| + |p_k(s) - p_k(t)| + |p_k(t) - p(t)|에서, 균등수렴으로 첫째·셋째 항을 작게 한 뒤 고정된 kk에 대해 pkp_k의 연속성으로 가운데 항을 작게 하면 됩니다 (ε/3\varepsilon/3 논증). 따라서 p:[0,1]→[0,1]2p: [0,1] \to [0,1]^2는 연속인 극한 곡선입니다.

위 문제의 극한 곡선 p:[0,1]→[0,1]2p: [0,1] \to [0,1]^2가 전사함수임을 완전히 증명하세요.

p([0,1])=[0,1]2p([0,1]) = [0,1]^2
차수 k=2k = 2: 81개의 선분이 9×99 \times 9 격자의 모든 칸을 방문합니다 — 차수가 올라갈수록 정사각형이 채워집니다.
증명 보기
  1. y∈[0,1]2y \in [0,1]^2를 임의로 잡습니다. 각 단계 kk에서 yy는 어떤 kk단계 부분정사각형 Q(k)Q^{(k)} (한 변 3−k3^{-k}) 안에 들어 있습니다. pkp_k는 모든 kk단계 부분정사각형을 방문하므로, pk(tk)∈Q(k)p_k(t_k) \in Q^{(k)}인 tkt_k가 존재합니다.
  2. (tk)(t_k)는 [0,1][0,1]의 수열이므로 컴팩트성에 의해 수렴하는 부분수열 tkj→tt_{k_j} \to t가 존재합니다. 연속성에 의해 p(tkj)→p(t)p(t_{k_j}) \to p(t)입니다. 그런데 ∣p(tkj)−y∣≤∣p(tkj)−pkj(tkj)∣+∣pkj(tkj)−y∣|p(t_{k_j}) - y| \le |p(t_{k_j}) - p_{k_j}(t_{k_j})| + |p_{k_j}(t_{k_j}) - y|에서, 첫째 항은 균등수렴에 의해, 둘째 항은 두 점이 모두 같은 Q(kj)Q^{(k_j)} 안에 있으므로, 각각 2 3−kj→0\sqrt{2}\, 3^{-k_j} \to 0으로 수렴합니다. 따라서 p(t)=yp(t) = y입니다.
  3. yy가 임의였으므로 pp는 [0,1]2[0,1]^2의 모든 점을 지나갑니다 — 연속인 전사함수 p:[0,1]→[0,1]2p: [0,1] \to [0,1]^2입니다. 1차원 구간이 2차원 정사각형을 "채울" 수 있다는 것이 페아노의 발견(1890)입니다.

연속인 전단사함수 [0,1]→[0,1]2[0,1] \to [0,1]^2는 존재하지 않음을 완전히 증명하세요 (Netto 정리). 따라서 위의 페아노 곡선은 단사함수일 수 없습니다.

no continuous bijection [0,1]→[0,1]2\text{no continuous bijection } [0,1] \to [0,1]^2
차수 k=3k = 3: 729개의 선분 — 곡선이 자기 자신을 수없이 가로지르므로 단사일 수 없음이 눈으로 보입니다.
증명 보기
  1. 두 보조정리부터 증명합니다. (A) 컴팩트 집합의 연속상은 컴팩트: KK 컴팩트, ff 연속이면 f(K)f(K)의 열린 덮개 {Ui}\{U_i\}에 대해 {f−1(Ui)}\{f^{-1}(U_i)\}는 KK의 열린 덮개이므로 유한 부분덮개가 있고, 그 상들이 f(K)f(K)를 덮습니다. (B) Hausdorff 공간의 컴팩트 부분집합은 닫혀 있음: K⊆YK \subseteq Y 컴팩트, y∉Ky \notin K이면 각 x∈Kx \in K에 대해 서로소인 근방 Ux∋xU_x \ni x, Vx∋yV_x \ni y가 존재하고 (Hausdorff), 유한개의 UxiU_{x_i}가 KK를 덮으므로 ⋂Vxi\bigcap V_{x_i}는 KK와 만나지 않는 yy의 근방입니다.
  2. Netto 정리: 컴팩트 공간에서 Hausdorff 공간으로의 연속 전단사는 동형사상(homeomorphism)입니다. 실제로 F⊆KF \subseteq K가 닫혀 있으면 FF는 컴팩트하고, f(F)f(F)는 (A)에 의해 컴팩트하므로 (B)에 의해 YY에서 닫혀 있습니다 — 즉 ff는 닫힌 사상입니다. 닫힌 전단사는 동형사상입니다 ((f−1)−1(F)=f(F)(f^{-1})^{-1}(F) = f(F)가 닫혀 있으므로 f−1f^{-1}이 연속).
  3. 이제 f:[0,1]→[0,1]2f: [0,1] \to [0,1]^2가 연속 전단사라고 가정하면 동형사상이어야 합니다. 내부의 점 c∈(0,1)c \in (0,1)을 제거하면 [0,1]∖{c}=[0,c)∪(c,1][0,1] \setminus \{c\} = [0,c) \cup (c,1]은 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합으로 분리되므로 연결집합이 아닙니다. 그러나 [0,1]2[0,1]^2에서 한 점을 제거한 공간은 경로연결(두 점을 그 점을 피해 이어 붙이면 됩니다) — 따라서 연결집합입니다. 동형사상은 점을 제거한 공간으로 제한해도 동형사상이므로 모순입니다. 따라서 연속 전단사는 존재하지 않고, 페아노 전사함수는 단사일 수 없습니다.

4. 위상