축소사상 원리

수축사상 d(Tx,Ty)≤q d(x,y)d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y) (q<1q<1)은 완비 거리공간에서 유일한 고정점을 갖습니다 — 피카르 반복 xn+1=Txnx_{n+1} = Tx_n은 오차공 qn1−q∣x1−x0∣\frac{q^n}{1-q}|x_1-x_0|과 함께 조여듭니다. T(x)=x/2T(x) = x/2 on (0,1](0,1]은 완비성이 왜 필수적인지 보여줍니다: 수축사상이지만 고정점이 없습니다.

d(Tx,Ty)≤q d(x,y),0≤q<1d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y), \quad 0 \le q < 1
d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1),d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1), \qquad d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)
T(x)=x/2 on (0,1]: contraction, no fixed pointT(x) = x/2 \text{ on } (0,1]: \text{ contraction, no fixed point}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

수축사상 TT (d(Tx,Ty)≤q d(x,y)d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y), q<1q<1)의 피카르 반복 xn+1=Txnx_{n+1} = Tx_n에 대해 m>nm>n일 때 d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)임을 보이고, (xn)(x_n)이 코시수열임을 증명하세요.

d(xk+1,xk+2)≤q d(xk,xk+1)≤qk+1 d(x0,x1)d(x_{k+1},x_{k+2}) \le q\,d(x_k,x_{k+1}) \le q^{k+1}\,d(x_0,x_1)
d(xn,xm)≤∑k=nm−1d(xk,xk+1)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_k,x_{k+1}) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)
n=8n=8: 코시 꼬리 상한 2−8≈0.00392^{-8} \approx 0.0039 — m>8m>8인 모든 xmx_m이 이 안에 들어옵니다.
증명 보기
  1. 한 걸음씩 조입니다: d(xk+1,xk+2)=d(Txk,Txk+1)≤q d(xk,xk+1)d(x_{k+1},x_{k+2}) = d(Tx_k,Tx_{k+1}) \le q\,d(x_k,x_{k+1})이므로, 귀납법으로 모든 kk에 대해 d(xk,xk+1)≤qk d(x0,x1)d(x_k,x_{k+1}) \le q^k\,d(x_0,x_1)입니다.
  2. m>nm>n이면 삼각부등식을 연달아 적용해 d(xn,xm)≤∑k=nm−1d(xk,xk+1)≤(∑k=nm−1qk)d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_k,x_{k+1}) \le \left(\sum_{k=n}^{m-1} q^k\right) d(x_0,x_1)입니다. 합을 ∞\infty까지 늘리면 기하급수 꼬리 ∑k=n∞qk=qn1−q\sum_{k=n}^{\infty} q^k = \frac{q^n}{1-q}가 나오므로 d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)입니다.
  3. 우변은 mm과 무관하게 n→∞n \to \infty일 때 00으로 가므로 (xn)(x_n)은 코시수열입니다. q=1/2q = 1/2, x0=1x_0 = 1이면 d(x1,x0)=1/2d(x_1,x_0) = 1/2이므로 상한은 2−n2^{-n}이 되고, n=8n = 8에서 1256≈0.0039\frac{1}{256} \approx 0.0039 — 캡션의 수치와 일치합니다.

T(x)=x/2T(x) = x/2가 (0,1](0,1] 위에서 q=1/2q = 1/2인 수축사상이지만, (0,1](0,1] 안에는 고정점이 없음을 보이세요. 완비성이 왜 필수적인지 설명합니다.

∣T(x)−T(y)∣=12∣x−y∣,T((0,1])⊂(0,1]|T(x) - T(y)| = \tfrac12|x - y|, \qquad T\big((0,1]\big) \subset (0,1]
x0=1⇒xn=2−n→0∉(0,1]x_0 = 1 \Rightarrow x_n = 2^{-n} \to 0 \notin (0,1]
n=8n=8: x8=2−8≈0.0039x_8 = 2^{-8} \approx 0.0039 — 반복값이 빠져 있는 극한 00으로 빨려듭니다.
증명 보기
  1. ∣T(x)−T(y)∣=∣x2−y2∣=12∣x−y∣|T(x) - T(y)| = \left|\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\right| = \frac12|x - y|이므로 TT는 q=1/2q = 1/2인 수축사상입니다. 또한 x∈(0,1]x \in (0,1]이면 T(x)=x/2∈(0,1/2]⊂(0,1]T(x) = x/2 \in (0, 1/2] \subset (0,1]이므로 TT는 (0,1](0,1]을 자기 자신으로 보냅니다.
  2. 고정점은 x=x/2x = x/2, 즉 x=0x = 0을 만족해야 하지만 0∉(0,1]0 \notin (0,1]입니다. 따라서 TT는 (0,1](0,1] 안에 고정점을 하나도 갖지 않습니다.
  3. x0=1x_0 = 1에서 시작하면 xn=2−nx_n = 2^{-n}: 1,12,14,…1, \frac12, \frac14, \dots입니다. 이 수열은 첫 번째 문제의 기하 상한을 만족하므로 코시수열이지만, 그 극한 00은 공간 밖에 있습니다. 완비성이 빠지면 코시수열이 "도착할 곳"을 잃고 정리 전체가 무너집니다 — n=8n = 8에서 x8=1256≈0.0039x_8 = \frac{1}{256} \approx 0.0039로, 캡션의 수치와 일치합니다.

완비 거리공간에서 수축사상의 고정점 x∗x^*에 대해 오차 상한 d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)을 유도하고, 고정점이 최대 하나임을 증명하세요.

d(xn,x∗)=lim⁡m→∞d(xn,xm)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) = \lim_{m \to \infty} d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)
∣x∗−y∗∣=∣Tx∗−Ty∗∣≤q∣x∗−y∗∣⇒x∗=y∗|x^* - y^*| = |Tx^* - Ty^*| \le q|x^* - y^*| \Rightarrow x^* = y^*
n=8n=8: ∣x8−2∣=1/256≈0.0039|x_8 - 2| = 1/256 \approx 0.0039 — 상한과 정확히 일치합니다.
증명 보기
  1. 완비성에 의해 코시수열 (xn)(x_n)은 공간 안의 점 x∗x^*로 수렴합니다. 수축사상은 ∣Tx−Ty∣≤q∣x−y∣|Tx - Ty| \le q|x - y|이므로 연속이고, 따라서 Tx∗=T(lim⁡xn)=lim⁡Txn=lim⁡xn+1=x∗Tx^* = T(\lim x_n) = \lim Tx_n = \lim x_{n+1} = x^* — x∗x^*는 고정점입니다.
  2. 첫 번째 문제의 부등식에서 m→∞m \to \infty으로 보내면 (d(x1,x0)=d(x0,x1)d(x_1,x_0) = d(x_0,x_1)이므로) 오차 상한 d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)을 얻습니다. T(x)=x/2+1T(x) = x/2 + 1, q=1/2q = 1/2, x0=1x_0 = 1이면 상한은 (1/2)81/2⋅12=1256≈0.0039\frac{(1/2)^8}{1/2}\cdot\frac12 = \frac{1}{256} \approx 0.0039이고, 실제 반복값 x8=2−2−8=1.99609375x_8 = 2 - 2^{-8} = 1.99609375는 오차 ∣x8−2∣=1256|x_8 - 2| = \frac{1}{256}으로 상한과 정확히 일치합니다.
  3. 유일성: x∗x^*, y∗y^*가 모두 고정점이라 가정하면 ∣x∗−y∗∣=∣Tx∗−Ty∗∣≤q∣x∗−y∗∣|x^* - y^*| = |Tx^* - Ty^*| \le q|x^* - y^*|입니다. q<1q < 1이므로 ∣x∗−y∗∣=0|x^* - y^*| = 0, 즉 x∗=y∗x^* = y^*를 강제합니다.

4. 위상